Calcule cada uma das integrais seguintes, em alguns casos fazendo a substituição dada, em outros determinando qual substituição a ser feita.
\int \ln (\sqrt[3]{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \ln\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções logarítmicas, usando propriedade de logaritmo para simplificar e depois técnica de integração por partes.

Passo 2

Usamos a propriedade
\ln\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)=\ln\bigl(x^{1/3}\bigr)=\tfrac{1}{3}\ln x.
Assim a integral vira
\int \ln\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx =\tfrac{1}{3}\int \ln x\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int \ln x\,dx, aplicamos integração por partes escolhendо
u=\ln x, \quad dv=dx.
Então
du=\frac{dx}{x}, \quad v=x.
Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du, vem
\int \ln x\,dx =x\ln x-\int x\cdot\frac{dx}{x} =x\ln x-\int 1\,dx =x\ln x - x + C_1.

Passo 4

Voltando ao fator \tfrac{1}{3}, obtemos
\int \ln\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx =\tfrac{1}{3}\bigl(x\ln x - x\bigr)+C.

Resposta

\frac{x\ln x - x}{3} + C.

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