Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{-1}^{2} x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx
Estamos usando técnicas de integração de polinômios e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a antiderivada entre os limites -1 e 2.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a linearidade da integral para simplificar o integrando. Observamos que
x\bigl(1+x^{3}\bigr)=x + x^{4}.
Logo
\int_{-1}^{2} x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx = \int_{-1}^{2} x\,dx + \int_{-1}^{2} x^{4}\,dx.

Passo 3

Em seguida, encontramos a antiderivada de cada termo. Sabemos que
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} \quad\text{e}\quad \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Portanto, uma primitiva comum é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-1}^{2} x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx = F(2) - F(-1).
Calculamos
F(2) = \frac{2^{2}}{2} + \frac{2^{5}}{5} = \frac{4}{2} + \frac{32}{5} = 2 + \frac{32}{5} = \frac{10+32}{5} = \frac{42}{5},
F(-1) = \frac{(-1)^{2}}{2} + \frac{(-1)^{5}}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5-2}{10} = \frac{3}{10}.

Passo 5

Finalmente, subtraímos os valores:
F(2) - F(-1) = \frac{42}{5} - \frac{3}{10} = \frac{84}{10} - \frac{3}{10} = \frac{81}{10}.

Resposta

\int_{-1}^{2} x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx = \frac{81}{10}.

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