Calcule o \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[5]{x^{5}+10 x^{4}-20 x^{3}+30 x^{2}+15 x-1}-x, assinale a opção correta.
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 10
(E) +\infty

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\sqrt[5]{x^{5}+10x^{4}-20x^{3}+30x^{2}+15x-1}\;-\;x
que é um problema de expansão assintótica de radicais para x\to+\infty.

Passo 2

Escrevemos o radicando como
x^{5}\Bigl(1 + \frac{10}{x} - \frac{20}{x^{2}} + \frac{30}{x^{3}} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{1}{x^{5}}\Bigr)
e portanto
\sqrt[5]{x^{5}+\cdots} = x\;\sqrt[5]{1 + t} \quad\text{onde}\quad t = \frac{10}{x} - \frac{20}{x^{2}} + \frac{30}{x^{3}} + \cdots.

Passo 3

Usando a série binomial para expoente 1/5:
(1 + t)^{\tfrac15} = 1 + \frac{1}{5}\,t + o(t),
ou seja, até a ordem O(1/x),
\sqrt[5]{1+t} = 1 + \frac{1}{5}\,\frac{10}{x} + o\!\bigl(\tfrac1x\bigr) = 1 + \frac{2}{x} + o\!\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 4

Multiplicando por x e subtraindo x,
\sqrt[5]{x^{5}+\cdots} - x = x\Bigl(1 + \frac{2}{x} + o(\tfrac1x)\Bigr) - x = 2 + o(1).

Resposta

(B) 2

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