A turma do primeiro ano da Escola Naval foi dividida em grupos e recebeu a tarefa de construir uma embarcação a vela. Um dos grupos deveria dimensionar a vela, a qual seria constituída de um semicírculo apoiado pelo diâmetro em um retângulo de base igual ao diâmetro do semicirculo. Sabe-se que a área da vela é a maior possivel e seu perímetro total é igual a W. Além disso, foi determinado que apenas a região retangular da vela fosse pintada, com uma tinta que custa \mathrm{R} \ 5,00$ por unidade de área. Assim, determine o custo com a pintura desta vela e assinale a opção correta.
(A) \frac{8 W^{2}}{(8+2 \pi)^{2}}
(B) \frac{40 W^{2}}{(4+\pi)^{2}}
(C) \frac{20 W^{2}}{(8+2 \pi)^{2}}
(D) \frac{20 W^{2}}{(4+\pi)^{2}}
(E) \frac{40 W^{2}}{(8+2 \pi)^{2}}

Passo 1

O enunciado descreve uma vela formada por um retângulo de base igual ao diâmetro d de um semicírculo apoiado sobre esse retângulo. A área total é
A = \underbrace{d\,h}_{\text{retângulo}} \;+\;\underbrace{\frac{\pi d^2}{8}}_{\text{semicírculo}}âí
e o perímetro total (contando a base inferior do retângulo, os dois lados verticais e o arco da semicircunferência) é
W = d \;+\;2h\;+\;\frac{\pi d}{2}.
Queremos, para dado W, maximizar A e depois calcular o custo de pintar apenas o retângulo, sabendo que o preço é de R$ 5,00 por unidade de área.

Passo 2

Do perímetro
W = d + 2h + \frac{\pi d}{2}
isolamos h:
2h = W - d - \frac{\pi d}{2} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{W - d\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{2}.

Passo 3

Substituímos h na área
A(d) = d\,h + \frac{\pi d^2}{8} = d\;\frac{W - d\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{2} \;+\;\frac{\pi d^2}{8}.
Fazendo a álgebra, chega-se a
A(d) = \frac{W}{2}\,d \;-\;\frac{4+\pi}{8}\,d^2.

Passo 4

Para maximizar A(d) (um quadrático côncavo), usamos o vértice da parábola:
d^* = \frac{\tfrac{W}{2}}{2\cdot\frac{4+\pi}{8}} = \frac{W/2}{\tfrac{4+\pi}{4}} = \frac{2W}{4+\pi}.
Em seguida,
h^* = \frac{W - d^*\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{2} = \frac{2W/(4+\pi)}{2} = \frac{W}{4+\pi}.

Passo 5

A área do retângulo ótimo é
A_{\text{ret}} = d^*\,h^* = \frac{2W}{4+\pi}\;\cdot\;\frac{W}{4+\pi} = \frac{2W^2}{(4+\pi)^2}.

Passo 6

O custo da pintura (R$ 5 por unidade de área) é
\text{Custo} = 5\;A_{\text{ret}} = 5\;\frac{2W^2}{(4+\pi)^2} = \frac{10\,W^2}{(4+\pi)^2}.
Observando as opções, note que
\frac{40\,W^2}{(8+2\pi)^2} =\frac{40\,W^2}{4\,(4+\pi)^2} =\frac{10\,W^2}{(4+\pi)^2}.

Resposta

E \displaystyle \frac{40W^{2}}{(8+2\pi)^{2}}

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