A turma do primeiro ano da Escola Naval foi dividida em grupos e recebeu a tarefa de construir uma embarcação a vela. Um dos grupos deveria dimensionar a vela, a qual seria constituída de um semicírculo apoiado pelo diâmetro em um retângulo de base igual ao diâmetro do semicirculo. Sabe-se que a área da vela é a maior possivel e seu perímetro total é igual a W. Além disso, foi determinado que apenas a região retangular da vela fosse pintada, com uma tinta que custa \mathrm{R} \ 5,00$ por unidade de área. Assim, determine o custo com a pintura desta vela e assinale a opção correta.
(A) \frac{8 W^{2}}{(8+2 \pi)^{2}}
(B) \frac{40 W^{2}}{(4+\pi)^{2}}
(C) \frac{20 W^{2}}{(8+2 \pi)^{2}}
(D) \frac{20 W^{2}}{(4+\pi)^{2}}
(E) \frac{40 W^{2}}{(8+2 \pi)^{2}}
Passo 1
O enunciado descreve uma vela formada por um retângulo de base igual ao diâmetro d de um semicírculo apoiado sobre esse retângulo. A área total é
A = \underbrace{d\,h}_{\text{retângulo}} \;+\;\underbrace{\frac{\pi d^2}{8}}_{\text{semicírculo}}
e o perímetro total (contando a base inferior do retângulo, os dois lados verticais e o arco da semicircunferência) é
W = d \;+\;2h\;+\;\frac{\pi d}{2}.
Queremos, para dado W, maximizar A e depois calcular o custo de pintar apenas o retângulo, sabendo que o preço é de R$ 5,00 por unidade de área.
Passo 2
Do perímetro
W = d + 2h + \frac{\pi d}{2}
isolamos h:
2h = W - d - \frac{\pi d}{2} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{W - d\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{2}.