Calcule cada uma das integrais a seguir.
integral cos ^2(t) sen(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^2(t),sin(t),dt. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando a técnica de substituição (mudança de variável).

Passo 2

Para aplicar substituição, notamos que derivada de cos(t) é -sin(t). Então definimos a variável u como
u = cos(t),
que implica
du = -sin(t),dt
ou seja
sin(t),dt = -,du .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral cos^2(t),sin(t),dt = integral u^2,(-du) = -integral u^2,du .

Passo 4

Agora basta integrar o polinômio em u. Usando a regra integral u^n du = u^n+1/(n+1)+C, obtemos
-integral u^2,du = -u^33 + C .

Passo 5

Voltando à variável original t, substituímos u = cos(t) e chegamos à resposta final
-cos^3(t)3 + C .

Resposta

-\frac{\cos^3(t)}{3} + C

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