Seja alpha(t)=(3 t-t^3, 3 t^2, 3 t+t^3).
b) (1.5). Determine a equação da reta tangente à curva alpha, no ponto alpha(to), onde alpha(to) é o ponto de interseção do traço de alpha com o plano xz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por α(t) = (3t - t³, 3t², 3t + t³) e precisa achar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde ela cruza o plano xz. Isso envolve cálculo, especificamente derivadas para encontrar a direção da reta tangente, e um pouco de geometria analítica para identificar o ponto exato de contato.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de t onde a curva α(t) intersecta o plano xz. No plano xz, a coordenada y é zero. Olhando para a segunda componente de α(t), que é 3t², a gente iguala a zero:
3t² = 0 ²
Resolvendo isso, temos:
t = 0
Então, t₀ = 0 é o instante que a curva cruza o plano xz.

Passo 3

Agora, vamos achar as coordenadas do ponto onde isso acontece substituindo t₀ na função α(t):
alpha(0) = (3*0 - 0³, 3*0², 3*0 + 0³) = (0, 0, 0) ³²³
Então, o ponto de interseção é a origem, (0, 0, 0).

Passo 4

Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor derivada da curva em t₀ = 0. Vamos derivar cada componente de α(t):
alpha'(t) = (ddt(3t - t³), ddt(3t²), ddt(3t + t³)) ³²³
alpha'(t) = (3 - 3t², 6t, 3 + 3t²) ²²
Agora, substituímos t₀ = 0:
alpha'(0) = (3 - 0, 0, 3 + 0) = (3, 0, 3)
Esse vetor (3, 0, 3) é a direção da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto de tangência (0, 0, 0) e o vetor direção (3, 0, 3), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Usamos um parâmetro s para descrever todos os pontos da reta:
x = 0 + 3s, y = 0 + 0s, z = 0 + 3s,
Simplificando:
x = 3s, y = 0, z = 3s

Resposta

A equação da reta tangente é dada por:
x = 3s, y = 0, z = 3s,
onde $ s $ é um parâmetro real.

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