Seja
.
b) (1.5). Determine a equação da reta tangente à curva
, no ponto
, onde
é o ponto de interseção do traço de
com o plano
.
b) (1.5). Determine a equação da reta tangente à curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por α(t) = (3t - t³, 3t², 3t + t³) e precisa achar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde ela cruza o plano xz. Isso envolve cálculo, especificamente derivadas para encontrar a direção da reta tangente, e um pouco de geometria analítica para identificar o ponto exato de contato.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de t onde a curva α(t) intersecta o plano xz. No plano xz, a coordenada y é zero. Olhando para a segunda componente de α(t), que é 3t², a gente iguala a zero:
Resolvendo isso, temos:
Então, t₀ = 0 é o instante que a curva cruza o plano xz.
Passo 3
Agora, vamos achar as coordenadas do ponto onde isso acontece substituindo t₀ na função α(t):
Então, o ponto de interseção é a origem, (0, 0, 0).
Passo 4
Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor derivada da curva em t₀ = 0. Vamos derivar cada componente de α(t):
Agora, substituímos t₀ = 0:
Esse vetor (3, 0, 3) é a direção da reta tangente.
Passo 5
Com o ponto de tangência (0, 0, 0) e o vetor direção (3, 0, 3), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Usamos um parâmetro s para descrever todos os pontos da reta:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é dada por:
onde $ s $ é um parâmetro real.