Calcule cada uma das integrais a seguir.
integral(x^2-4 x+4)^43 d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de (x^2 - 4x + 4)^43 dx. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração de funções polinomiais elevadas a uma potência fracionária. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de simplificação e regras de integração, como a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que está dentro da integral: x^2 - 4x + 4. Observa que esse polinômio pode ser fatorado para simplificar a expressão. Isso vai facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio x^2 - 4x + 4. Esse é um trinômio do segundo grau e pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Então, a integral fica:
integral ((x - 2)^2)^43 dx

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Quando temos uma potência dentro de outra potência, a gente multiplica os expoentes:
((x - 2)^2)^43 = (x - 2)^2 times 43 = (x - 2)^83
Então, a integral agora é:
integral (x - 2)^83 dx

Passo 5

Para integrar (x - 2)^83, vamos usar a regra do poder da integração, que diz:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
onde n neq -1 e C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra do poder à nossa integral:
integral (x - 2)^83 dx = (x - 2)^83 + 183 + 1 + C
Calculando os expoentes:
83 + 1 = 83 + 33 = 113
E o denominador:
113
Então, a integral fica:
(x - 2)^113113 + C = 311 (x - 2)^113 + C

Resposta

A integral de (x^2 - 4x + 4)^43 dx é:
311 (x - 2)^113 + C

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