Esboce os conjuntos de nível de
, para os seguintes valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar os conjuntos de nível da função $ f(x, y) = \sqrt{100 - x^{2} - y^{2}} $ para os valores de $ c = 0, 2, 10 $. Basicamente, conjuntos de nível são as curvas onde a função assume um valor constante $ c $. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar essas curvas para cada valor de $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função ao valor de $ c $ para encontrar as equações das curvas de nível. Ou seja:
Passo 3
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar a equação para isolar $ x^{2} + y^{2} $:
Passo 5
Observamos que $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ é a equação de um círculo com raio $ r $. Então, $ 100 - c^{2} $ representa $ r^{2} $, ou seja:
Passo 6
Vamos agora calcular o raio para cada valor de $ c $:
-
Para $ c = 0 $:
Então, temos um círculo com raio 10. -
Para $ c = 2 $:
Aqui, o círculo tem raio aproximadamente 9,80. -
Para $ c = 10 $:
Nesse caso, o “círculo” é apenas um ponto no centro.
Resposta
Os conjuntos de nível de $ f(x, y) = \sqrt{100 - x^{2} - y^{2}} $ são:
- Para $ c = 0 $: Um círculo com raio 10.
- Para $ c = 2 $: Um círculo com raio aproximadamente 9,80.
- Para $ c = 10 $: Um ponto no centro (raio 0).