Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
f(x, y)=raiz100-x^2-y^2
c=0,2,10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar os conjuntos de nível da função $ f(x, y) = \sqrt{100 - x^{2} - y^{2}} $ para os valores de $ c = 0, 2, 10 $. Basicamente, conjuntos de nível são as curvas onde a função assume um valor constante $ c $. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar essas curvas para cada valor de $ c $.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor de $ c $ para encontrar as equações das curvas de nível. Ou seja:
c

Passo 3

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
100 - x^2 - y^2 = c^2

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar $ x^{2} + y^{2} $:
x^2 + y^2

Passo 5

Observamos que $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ é a equação de um círculo com raio $ r $. Então, $ 100 - c^{2} $ representa $ r^{2} $, ou seja:
x^2 + y^2 = r^2

Passo 6

Vamos agora calcular o raio para cada valor de $ c $:
  • Para $ c = 0 $:
    c
    Então, temos um círculo com raio 10.
  • Para $ c = 2 $:
    c = 0
    Aqui, o círculo tem raio aproximadamente 9,80.
  • Para $ c = 10 $:
    r = raiz100 - 0^2 = raiz100 = 10
    Nesse caso, o “círculo” é apenas um ponto no centro.

Resposta

Os conjuntos de nível de $ f(x, y) = \sqrt{100 - x^{2} - y^{2}} $ são:
  • Para $ c = 0 $: Um círculo com raio 10.
  • Para $ c = 2 $: Um círculo com raio aproximadamente 9,80.
  • Para $ c = 10 $: Um ponto no centro (raio 0).

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