Sejam as funções
e
de
em
definidas abaixo. Determine se são iguais. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções f,g:ℝ→ℝ definidas por f(x)=√(x²) e g(x)=x são iguais. Vamos usar teoria de igualdade de funções e propriedades de radicais.
Passo 2
Sabemos pela definição de valor absoluto que, para todo x∈ℝ, √(x²)=|x|. Aqui usamos a convenção de que a raiz quadrada retorna sempre o valor não-negativo.
Portanto f(x)=|x| para todo x∈ℝ.
Portanto f(x)=|x| para todo x∈ℝ.
Passo 3
Temos g(x)=x por definição. Para testar igualdade de funções, comparamos f(x) e g(x) em cada x: para x≥0 vale |x|=x, logo f(x)=g(x), mas para x<0 vale |x|=−x≠x, logo f(x)≠g(x).
Como existe pelo menos um x (por exemplo x=−1) em que f(x)≠g(x), concluímos que as funções não são iguais em ℝ.
Como existe pelo menos um x (por exemplo x=−1) em que f(x)≠g(x), concluímos que as funções não são iguais em ℝ.
Resposta
As funções não são iguais, pois f(x)=√(x²)=|x| difere de g(x)=x quando x<0.