Calcule cada integral complexa a seguir:
integral0^infty x sen k x d xx^2+1.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral imprópria integral0^infty xsin(kx)x^2+1,dx. O conteúdo aqui é o uso de transformadas de Fourier e integração no plano complexo, além de propriedades de funções pares e ímpares.

Passo 2

Vamos usar a ideia de escrever sin(kx) como a parte imaginária de e^ikx e estender a integral para todo o eixo real. Definimos
I = integral0^infty xsin(kx)x^2+1,dx
e
J = integral-infty^infty x e^ikxx^2+1,dx
Como a função x/(x^2+1) é ímpar e sin(kx) também, o produto é par, então
integral-infty^infty xsin(kx)x^2+1,dx = 2I

Passo 3

Para calcular J usamos contorno no semiplano superior (supondo k>0). O único polo de f(z)=z e^ikzz^2+1 no semiplano superior é z=i. O resíduo em z=i é
Res(f,i)=limzto i(z-i)z e^ikz(z-i)(z+i)=i e^ik i2i=e^-k2
Pela fórmula dos resíduos,
J=2pi icdote^-k2=pi i,e^-k

Passo 4

Sabendo que J=integral-infty^infty x e^ikx/(x^2+1),dx=pi i e^-k, sua parte imaginária nos dá
integral-infty^infty xsin(kx)x^2+1,dx=Im(J)=Iml(pi i e^-kr)=pi e^-k
Como esse integral de -infty a +infty vale 2I, concluímos
2I=pi e^-kLongrightarrow I=pi2e^-k

Passo 5

Portanto, a integral original vale:
I=pi2e^-k

Resposta

integral0^infty xsin(kx)x^2+1,dx=pi2e^-k.

Exercícios relacionados