Calcule cada integral complexa a seguir:
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo aqui é o uso de transformadas de Fourier e integração no plano complexo, além de propriedades de funções pares e ímpares.
Passo 2
Vamos usar a ideia de escrever
como a parte imaginária de
e estender a integral para todo o eixo real. Definimos
e
Como a função
é ímpar e
também, o produto é par, então
Passo 3
Para calcular
usamos contorno no semiplano superior (supondo
). O único polo de
no semiplano superior é
. O resíduo em
é
Pela fórmula dos resíduos,
Passo 4
Sabendo que
, sua parte imaginária nos dá
Como esse integral de
a
vale
, concluímos
Passo 5
Portanto, a integral original vale: