Calcule cada integral complexa a seguir:
.
Passo 1
Temos uma integral imprópria real
. Para resolvê-la, vamos usar análise complexa e o teorema dos resíduos, fechando o contorno no semiplano superior.
Passo 2
Reescrevemos o denominador em forma canônica:
. Assim, a função
tem polos simples em
e
. Somente
está no semiplano superior.
Passo 3
Escolhemos o contorno
formado pela reta real de
até
e pelo semicírculo de raio
no semiplano superior. Como para
vale
, a contribuição no semicírculo tende a zero quando
.
Passo 4
Pelo teorema dos resíduos, a integral sobre a reta real é dada por
Passo 5
Calculamos o resíduo em
por
onde
. Como
, resulta
Passo 6
Substituindo no teorema dos resíduos, obtemos