Calcule cada integral complexa a seguir:
integral-infty^infty e^i x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

Temos uma integral imprópria real integral-infty^infty e^ixx^2+4x+5,dx. Para resolvê-la, vamos usar análise complexa e o teorema dos resíduos, fechando o contorno no semiplano superior.

Passo 2

Reescrevemos o denominador em forma canônica: x^2+4x+5=(x+2)^2+1. Assim, a função f(z)=e^izz^2+4z+5 tem polos simples em z=-2+i e z=-2-i. Somente z0=-2+i está no semiplano superior.

Passo 3

Escolhemos o contorno C formado pela reta real de -R até R e pelo semicírculo de raio R no semiplano superior. Como para Im(z)>0 vale |e^iz|=e^-Im(z)<=1, a contribuição no semicírculo tende a zero quando Rtoinfty.

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos, a integral sobre a reta real é dada por

Passo 5

Calculamos o resíduo em z0=-2+i por
onde Res(f,z0) = limzto z0(z-z0)e^iz(z-z0)(z-z1) = e^iz0z0-z1, . Como z1=-2-i, resulta

Passo 6

Substituindo no teorema dos resíduos, obtemos
integral-infty^inftye^ixx^2+4x+5,dx = 2pi icdote^-1e^-2i2i = pi e^-1e^-2i

Resposta

pi e^-1e^-2i

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