QUESTÃO 4 - Sendo f uma função analítica numa região simplesmente conexa R contendo o ponto z0. Prove a Forma Integral de Cauchy:
ointC f(z)z-z0 d z=2 pi i f(z0)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f analítica numa região simplesmente conexa R que contém um ponto z0, e que C é um contorno fechado positivamente orientado em R. A missão é provar a Fórmula Integral de Cauchy
ointC f(z)z - z0 ,dz = 2pi i,f(z0)
Vamos precisar do conceito de função analítica (holomorfa), do Teorema Integral de Cauchy (que diz que a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado é zero) e do cálculo da integral padrão

Passo 2

Como f é analítica em R, podemos montar a função auxiliar
g(z)=f(z)-f(z0)z - z0
Essa g(z) é analítica em R: para zneq z0 claramente é quociente de funções analíticas, e em z=z0 definimos
g(z0)=f'(z0),
olhando para o limite que define a derivada. Assim, g não tem descontinuidade nem pólos em R.

Passo 3

Observando que
f(z)z-z0 ,=,g(z) + f(z0)z - z0,
ésse é um passo chave: separamos a parte analítica g(z) da parte que tem o polo simples em z=z0.

Passo 4

Pelo Teorema Integral de Cauchy, como g(z) é analítica em toda a região interna e sobre C, temos
ointC g(z),dz = 0

Passo 5

Restou então calcular apenas
ointC f(z0)z - z0,dz = f(z0)ointCdzz - z0
Aqui usamos o fator constante f(z0) para fora da integral e reconhecemos a integral padrão de um polo simples.

Passo 6

Para completar, lembramos que, orientado positivamente, o contorno C
ointCdzz - z0 = 2pi i
Isso pode ser visto parametrizando z = z0 + Re^it, tin[0,2pi], mas é um resultado clássico.

Passo 7

Juntando tudo:
ointC f(z)z - z0,dz = 0 + f(z0)cdot 2pi i = 2pi i,f(z0)

Resposta

ointC f(z)z - z0,dz = 2pi i,f(z0).

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