QUESTÃO 4 - Sendo
uma função analítica numa região simplesmente conexa R contendo o ponto
. Prove a Forma Integral de Cauchy:
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
analítica numa região simplesmente conexa
que contém um ponto
, e que
é um contorno fechado positivamente orientado em
. A missão é provar a Fórmula Integral de Cauchy
Vamos precisar do conceito de função analítica (holomorfa), do Teorema Integral de Cauchy (que diz que a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado é zero) e do cálculo da integral padrão
Passo 2
Como
é analítica em
, podemos montar a função auxiliar
Essa
é analítica em
: para
claramente é quociente de funções analíticas, e em
definimos
olhando para o limite que define a derivada. Assim,
não tem descontinuidade nem pólos em
.
Passo 3
Observando que
ésse é um passo chave: separamos a parte analítica
da parte que tem o polo simples em
.
Passo 4
Pelo Teorema Integral de Cauchy, como
é analítica em toda a região interna e sobre
, temos
Passo 5
Restou então calcular apenas
Aqui usamos o fator constante
para fora da integral e reconhecemos a integral padrão de um polo simples.
Passo 6
Para completar, lembramos que, orientado positivamente, o contorno
dá
Isso pode ser visto parametrizando
, mas é um resultado clássico.
Passo 7
Juntando tudo: