QUESTÃO 5 - Mostre que:
oint|z|=2 1z^2-1 d z=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno oint|z|=21z^2-1,dz. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos em Análise Complexa, e vamos precisar: identificar os polos de f(z)=1/(z^2-1), verificar quais estão dentro da curva |z|=2, calcular seus resíduos e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

O denominador z^2-1 se anula em z^2=1, ou seja, em z=1 e z=-1. Ambos são polos simples e satisfazem |1|=1<2 e |-1|=1<2, portanto estão dentro do contorno |z|=2.

Passo 3

Para polos simples, o resíduo em z0 é dado por limzto z0(z-z0)f(z). No nosso caso:
Res(f,1)=limzto1z-1(z-1)(z+1)=limzto11z+1=12,
Res(f,-1)=limzto-1z+1(z-1)(z+1)=limzto-11z-1=-12

Passo 4

Somando os resíduos internos: 12 + (-12)=0. Pelo Teorema dos Resíduos:
oint|z|=21z^2-1,dz = 2pi i times 0 = 0

Resposta

0

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