Calcule cada integral complexa a seguir:
integral0^infty sin x d x(x^2+a^2)(x^2+b^2), a, b in R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Conteúdo: integração de função racional multiplicada por sin x no intervalo [0,infty). Vamos usar frações parciais e um resultado padrão de integral de seno.

Passo 2

Vamos decompor a função racional em frações parciais. Como aneq b, temos:
1(x^2+a^2)(x^2+b^2) =1b^2-a^2l(1x^2+a^2-1x^2+b^2r)

Passo 3

Substituímos na integral original:
integral0^inftysin x(x^2+a^2)(x^2+b^2),dx =1b^2-a^2l(integral0^inftysin xx^2+a^2,dx-integral0^inftysin xx^2+b^2,dxr)

Passo 4

Usamos o resultado padrão (obtido por contorno ou tabela):
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x2+c2},dx=\frac{\pi}{2c}e^{-c},
$$ para integral0^inftysin xx^2+c^2,dx=pi2ce^-c, . Aplicando para c>0 e c=a:
c=b

Passo 5

Finalmente, juntando tudo:
integral0^inftysin x(x^2+a^2)(x^2+b^2),dx =1b^2-a^2l(pi2ae^-a-pi2be^-br) =pi2(b^2-a^2)l(e^-aa-e^-bbr)

Resposta

pi2(b^2-a^2)l(e^-aa-e^-bbr)

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