Calcule cada integral complexa a seguir:
integral0^2 pi d theta5-3 sin theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=integral0^2pidtheta5-3sintheta,
um exercício típico de análise complexa, onde vamos usar a substituição z=e^itheta, expressar sintheta em termos de z e aplicar o teorema dos resíduos em volta do círculo unitário.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável z=e^itheta temos
sintheta=z-z^-12i,
e
dtheta=dziz
Substituindo na integral obtemos um contorno no círculo |z|=1.

Passo 3

Substituindo tudo, a integral vira
I=oint|z|=115-32i(z-z^-1)cdotdziz
Colocando em um único quociente e simplificando chegamos a
I=oint|z|=12,dz-3z^2+10iz+3

Passo 4

Para aplicar o teorema dos resíduos, achamos os polos resolvendo
-3z^2+10iz+3=0
que dá
z=3ie z=i3
Dos dois, só z=i/3 está dentro de |z|<1.

Passo 5

Calculamos a residência em z0=i/3. Como é um polo simples,
Res(f;z0)=limzto i/3(z-tfraci3)2-3z^2+10iz+3 =2(-6z+10i)|z=i/3 =28i =14i=-i4

Passo 6

Pelo teorema dos resíduos,
I=oint|z|=1f(z),dz=2pi itimesl(-i4r)=2pi4=pi2
Então o valor da integral é pi/2.

Resposta

pi/2

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