Calcule cada integral complexa a seguir:
integral0^2 pi cos ^2 3 theta5-4 cos 2 theta d theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2picos^2(3theta)5-4cos2theta,dtheta,
usando técnicas de identidades trigonométricas e séries de Fourier em integrais periódicas.

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos^2(3theta)=1+cos6theta2
para reescrever o integrando.

Passo 3

Com isso a integral se separa em duas partes:
I=integral0^2picos^2(3theta)5-4cos2theta,dtheta =12integral0^2pidtheta5-4cos2theta +12integral0^2picos6theta5-4cos2theta,dtheta =12(I0+I6)

Passo 4

Para calcular
I0=integral0^2pidtheta5-4cos2theta,
fazemos a substituição phi=2theta, de modo que dphi=2,dtheta e o intervalo 0<=theta<=2pi vira 0<=phi<=4pi. Isso mostra que
I0=integral0^2pidphi5-4cosphi =2piraiz5^2-4^2=2pi3

Passo 5

Para
I6=integral0^2picos6theta5-4cos2theta,dtheta,
usamos a expansão em série de Fourier:
15-4cos2theta=13l[1+2sumn=1^inftyl(tfrac12r)^ncos(2ntheta)r]
Ao multiplicar por cos6theta e integrar, só o termo com n=3 contribui, de modo que
I6=13cdot2l(tfrac12r)^3integral0^2picos^2(6theta),dtheta =112cdotpi=pi12

Passo 6

Finalmente, somamos as contribuições
I0=tfrac2pi3 e I6=tfracpi12 na expressão
I=tfrac12(I0+I6) para concluir o cálculo da integral.

Resposta

3pi/8

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