Calcule cada integral complexa a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral real
. Vamos usar técnicas de análise complexa, convertendo em integral sobre o círculo unitário
e aplicando o teorema dos resíduos.
Passo 2
Fazemos a substituição
. Então:
Passo 3
Substituindo na integral, o denominador fica
Multiplicando numerador e denominador adequadamente e reunindo fatores, obtemos
Passo 4
Definimos o polinômio
. Suas raízes são
Calculando o módulo, verifica-se que apenas
Passo 5
Para aplicar o teorema dos resíduos precisamos da contribuição em
. Como
e, pelo teorema,
Passo 6
Como
e
, resulta