Calcule cada integral complexa a seguir:
integral0^2 pi d theta4+cos theta+sin theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral real I=integral0^2pidfracdtheta4+costheta+sintheta. Vamos usar técnicas de análise complexa, convertendo em integral sobre o círculo unitário |z|=1 e aplicando o teorema dos resíduos.

Passo 2

Fazemos a substituição z=e^itheta. Então:
costheta=z+z^-12, sintheta=z-z^-12i, dtheta=dziz

Passo 3

Substituindo na integral, o denominador fica
4+costheta+sintheta =4+z+z^-12+z-z^-12i =4+1-i2z+1+i2z^-1
Multiplicando numerador e denominador adequadamente e reunindo fatores, obtemos
I=oint|z|=1dzizl(4+tfrac1-i2z+tfrac1+i2z^-1r) =-2ioint|z|=1dz(1-i)z^2+8z+(1+i)

Passo 4

Definimos o polinômio P(z)=(1-i)z^2+8z+(1+i). Suas raízes são
z1,2= rac-8pmraiz64-4(1-i)(1+i)2(1-i) = rac(-4pmraiz14)(1+i)2
Calculando o módulo, verifica-se que apenas
z1=(-4+raiz14)(1+i)2 está dentro de |z|<1.

Passo 5

Para aplicar o teorema dos resíduos precisamos da contribuição em z1. Como
I=-2iointdzP(z), o resíduo em z1 é
mathopRes(f,z1) =-2icdot1P'(z1) =-2icdot1(1-i)(z1-z2)
e, pelo teorema,
I=2pi itimesmathopRes(f,z1) =4pi(1-i)(z1-z2)

Passo 6

Como z1-z2=raiz14(1+i) e (1-i)(1+i)=2, resulta
I=4pi2raiz14=2piraiz14

Resposta

2pi/raiz14

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