Seja o sólido W limitado pelas superficies x^2+y^2=1 y+z=2 e z=0. Calcule
integral triplaW z d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sólido $ W $ limitado pelas superfícies $ x{2}+y{2}=1 $, $ y+z=2 $ e $ z=0 $. O que precisamos fazer é calcular a integral tripla W .
Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas quando temos círculos ou cilindros, como a equação $ x{2}+y{2}=1 $. Vamos precisar entender bem os limites de integração para cada coordenada: $ r $ (raio), $ \theta $ (ângulo) e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido $ W $. A equação $ x{2}+y{2}=1 $ representa um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo $ z $. A equação $ y+z=2 $ é um plano inclinado, e $ z=0 $ é o plano $ xy $.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • $ x = r \cos\theta $
  • $ y = r \sin\theta $
  • $ z = z $
Então, nosso sólido está dentro do cilindro $ r = 1 $, entre $ z = 0 $ e $ z = 2 - y $. Mas como $ y = r \sin\theta $, isso fica $ z = 2 - r \sin\theta $.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para $ r $: como o cilindro tem raio 1, $ r $ varia de 0 a 1.
  • Para $ \theta $: dá uma volta completa ao redor do cilindro, então $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $.
  • Para $ z $: vai de 0 até $ 2 - r \sin\theta $.

Passo 4

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
integral triplaW z , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^1 integral0^2 - r sintheta z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, $ r $ é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Segundo, multiplicamos pelo $ r $ e integramos em relação a $ r $:
integral0^2 - r sintheta z , dz = [ z^22 ]0^2 - r sintheta = (2 - r sintheta)^22
Vamos expandir $ (2 - r \sin\theta)^{2} $:
r
Então, a integral fica:
r
Integrando termo a termo:
integral0^1 (2 - r sintheta)^22 cdot r , dr
Simplificando:
(2 - r sintheta)^2
Finalmente, integramos em relação a $ \theta $:
(2 - r sintheta)^2 = 4 - 4r sintheta + r^2 sin^2theta
Sabemos que:
12 integral0^1 (4r - 4r^2 sintheta + r^3 sin^2theta) dr
12 [ 2r^2 - 43r^3 sintheta + 14 r^4 sin^2theta ]0^1 = 12 ( 2 - 43 sintheta + 14 sin^2theta )
Então, a integral se torna:
1 - 23 sintheta + 18 sin^2theta

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac17,pi8.

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