Seja o sólido
limitado pelas superficies
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sólido $ W $ limitado pelas superfícies $ x{2}+y{2}=1 $, $ y+z=2 $ e $ z=0 $. O que precisamos fazer é calcular a integral tripla
.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas quando temos círculos ou cilindros, como a equação $ x{2}+y{2}=1 $. Vamos precisar entender bem os limites de integração para cada coordenada: $ r $ (raio), $ \theta $ (ângulo) e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido $ W $. A equação $ x{2}+y{2}=1 $ representa um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo $ z $. A equação $ y+z=2 $ é um plano inclinado, e $ z=0 $ é o plano $ xy $.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
- $ x = r \cos\theta $
- $ y = r \sin\theta $
- $ z = z $
Então, nosso sólido está dentro do cilindro $ r = 1 $, entre $ z = 0 $ e $ z = 2 - y $. Mas como $ y = r \sin\theta $, isso fica $ z = 2 - r \sin\theta $.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para $ r $: como o cilindro tem raio 1, $ r $ varia de 0 a 1.
- Para $ \theta $: dá uma volta completa ao redor do cilindro, então $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $.
- Para $ z $: vai de 0 até $ 2 - r \sin\theta $.
Passo 4
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
Aqui, $ r $ é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Segundo, multiplicamos pelo $ r $ e integramos em relação a $ r $:
Vamos expandir $ (2 - r \sin\theta)^{2} $:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Finalmente, integramos em relação a $ \theta $:
Sabemos que:
Então, a integral se torna:
Resposta
O valor da integral tripla é
.