Calcule cada integral indefinida abaixo.
\int 3 x \sqrt{2 x^{2}-5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 3x\,\sqrt{2x^{2}-5}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos uma função composta \sqrt{2x^2-5} multiplicada por x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x^{2}-5,
de modo que
du = \frac{d}{dx}(2x^{2}-5)\,dx = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.
Assim, o integrando fica em termos de u:
3x\,\sqrt{2x^{2}-5}\,dx =3\,\sqrt{u}\;\bigl(x\,dx\bigr) =3\,\sqrt{u}\;\frac{du}{4} =\frac{3}{4}\,u^{\tfrac12}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int \frac{3}{4}\,u^{\tfrac12}\,du =\frac{3}{4}\,\int u^{\tfrac12}\,du =\frac{3}{4}\;\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}+C =\frac{3}{4}\;\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}+C =\frac{1}{2}\,u^{\tfrac32}+C.

Passo 4

Volta à variável x substituindo u=2x^2-5:
\frac{1}{2}\,u^{\tfrac32}+C =\frac{1}{2}\,\bigl(2x^{2}-5\bigr)^{\tfrac32}+C.

Resposta

\int 3x\,\sqrt{2x^{2}-5}\,dx =\frac{1}{2}\,\bigl(2x^{2}-5\bigr)^{\tfrac32}+C.

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