Calcule cada integral indefinida abaixo como uma série de potências centrada em x=0. Em seguida, determine o raio de convergência da série obtida. (Dica: Expanda o integrando como uma série de potências e depois integre termo a termo.)
integral x-tan ^-1 xx^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x-tan^-1xx^3,dx
como série de potências centrada em x=0 e achar o raio de convergência. Vamos usar expansão em série de potências do integrando e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro lembramos a série de Taylor de tan^-1x centrada em zero:
tan^-1x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<1
Essa série converge para |x|<1, com raio 1.

Passo 3

Escrevemos o integrando em função dessa série:
x-tan^-1xx^3=xx^3-1x^3sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1 = x^-2-sumn=0^infty(-1)^nx^2n-22n+1
Perceba que o termo x^-2 da série cancela com o +x^-2 inicial, deixando
x-tan^-1xx^3=sumn=0^infty(-1)^nx^2n2n+3

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral x^2n,dx=x^2n+12n+1,
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integralx-tan^-1xx^3,dx =sumn=0^infty(-1)^n12n+3cdotx^2n+12n+1+C =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)(2n+3)+C

Passo 5

O raio de convergência dessa série é o mesmo da expansão de tan^-1x, isto é, R=1, pois as operações de divisão polinomial e integração termo a termo não alteram o raio de convergência.

Resposta

integralx-tan^-1xx^3,dx=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)(2n+3)+C, R=1

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