Mostre que 3raiz7-2 raiz10+4raiz8+4 raiz3=1raiz11-2 raiz30.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma soma de frações com radicais no denominador é igual a outra fração com radical. O conteúdo principal aqui é racionalização de denominadores e a propriedade de identificar expressões da forma apm2raiz b como quadrados de binômios de raízes. Vamos precisar usar a técnica de representar raizapm2raiz b=raiz xpmraiz y, resolver o sistema x+y=a, xy=b e depois racionalizar multiplicando pela conjugada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar 3raiz7-2raiz10. Identificamos 7-2raiz10 como (raiz5-raiz2)^2, pois
l(raiz5-raiz2r)^2 = 5 + 2 - 2raiz10 = 7 - 2raiz10
Logo
3raiz7-2raiz10 = 3raiz5-raiz2
Racionalizando multiplicando pelo conjugado raiz5+raiz2:
3raiz5-raiz2 cdot raiz5+raiz2raiz5+raiz2 = 3(raiz5+raiz2)5-2 = raiz5+raiz2

Passo 3

Agora simplificamos 4raiz8+4raiz3. Observamos que 8+4raiz3=(raiz6+raiz2)^2, pois
l(raiz6+raiz2r)^2 = 6 + 2 + 2raiz12 = 8 + 4raiz3
Então
4raiz8+4raiz3 = 4raiz6+raiz2
Racionalizando multiplicando pelo conjugado raiz6-raiz2:
4raiz6+raiz2 cdot raiz6-raiz2raiz6-raiz2 = 4(raiz6-raiz2)6-2 = raiz6-raiz2

Passo 4

Somando as duas partes, a raiz2 cancela:
3raiz7-2raiz10 + 4raiz8+4raiz3 = (raiz5+raiz2) + (raiz6-raiz2) = raiz5 + raiz6

Passo 5

Finalmente, mostramos que a parte direita também vale raiz5+raiz6. Note que
11 - 2raiz30 = (raiz6-raiz5)^2,
logo
1raiz11-2raiz30 = 1raiz6-raiz5 = raiz6+raiz5
Portanto, as duas expressões coincidem.

Resposta

3raiz7-2 raiz10+4raiz8+4 raiz3=1raiz11-2 raiz30.

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