Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma soma de frações com radicais no denominador é igual a outra fração com radical. O conteúdo principal aqui é racionalização de denominadores e a propriedade de identificar expressões da forma
como quadrados de binômios de raízes. Vamos precisar usar a técnica de representar
, resolver o sistema
,
e depois racionalizar multiplicando pela conjugada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
. Identificamos
como
, pois
Logo
Racionalizando multiplicando pelo conjugado
:
Passo 3
Agora simplificamos
. Observamos que
, pois
Então
Racionalizando multiplicando pelo conjugado
:
Passo 4
Somando as duas partes, a
cancela:
Passo 5
Finalmente, mostramos que a parte direita também vale
. Note que
logo
Portanto, as duas expressões coincidem.