Calcule cada integral.
\int_{1}^{e} \frac{x^{2}+x+1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e} \frac{x^{2}+x+1}{x}\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são 1 e e, o integrando é \frac{x^{2}+x+1}{x} e nesse intervalo x>0 (útil para a função logaritmo). Não resolvemos nada ainda, só identificamos o que foi pedido.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando dividindo cada termo do numerador por x. Fazendo isso temos
\frac{x^{2}+x+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=x+1+\frac{1}{x}.
Isso facilita muito porque transforma a integral em soma de integrais mais simples.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Assim
\int_{1}^{e}\left(x+1+\frac{1}{x}\right)dx=\int_{1}^{e}x\,dx+\int_{1}^{e}1\,dx+\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx.
A linearidade diz que \int (a f + b g) = a\int f + b\int g; aqui a=b=1.

Passo 4

Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) de cada termo. Relembre as fórmulas básicas:
  • Para potenciais: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aplicando com n=1 obtemos \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
  • Para constante: \displaystyle \int 1\,dx = x + C.
  • Para 1/x: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. Como aqui x\in[1,e] e x>0, podemos escrever \ln x sem valor absoluto.
Dou um exemplo rápido: \int t^{2}dt=\frac{t^{3}}{3}+C é aplicação direta da fórmula de potência.

Passo 5

Juntando as primitivas obtidas termo a termo, uma antiderivada de x+1+\frac{1}{x} é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+x+\ln x.
Qualquer outra primitiva difere por uma constante, mas para integral definida basta uma primitiva qualquer.

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(e)-F(1). Calculemos cada valor:
F(e)=\frac{e^{2}}{2}+e+\ln e=\frac{e^{2}}{2}+e+1
pois \ln e=1, e
F(1)=\frac{1^{2}}{2}+1+\ln 1=\frac{1}{2}+1+0=\frac{3}{2}
pois \ln 1=0. Subtraindo,
F(e)-F(1)=\left(\frac{e^{2}}{2}+e+1\right)-\frac{3}{2}=\frac{e^{2}}{2}+e-\frac{1}{2},
já que 1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{2}}{2}+e-\frac{1}{2}

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