Calcule cada integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: os limites de integração são
e
, o integrando é
e nesse intervalo
(útil para a função logaritmo). Não resolvemos nada ainda, só identificamos o que foi pedido.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o integrando dividindo cada termo do numerador por
. Fazendo isso temos
Isso facilita muito porque transforma a integral em soma de integrais mais simples.
Passo 3
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Assim
A linearidade diz que
; aqui
.
Passo 4
Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) de cada termo. Relembre as fórmulas básicas:
- Para potenciais:
para . Aplicando com obtemos . - Para constante:
. - Para
: . Como aqui e , podemos escrever sem valor absoluto.
Dou um exemplo rápido:
é aplicação direta da fórmula de potência.
Passo 5
Juntando as primitivas obtidas termo a termo, uma antiderivada de
é
Qualquer outra primitiva difere por uma constante, mas para integral definida basta uma primitiva qualquer.
Passo 6
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Calculemos cada valor:
pois
, e
pois
. Subtraindo,
já que
.