Calcule cada integral.
\int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-4 x+5 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-4 x+5 x\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: }6x^{2}-4x+5x,\qquad \text{limites: }x=0\text{ a }x=2.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando somando os termos semelhantes -4x e 5x.
6x^{2}-4x+5x = 6x^{2}+x.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmula:
\int_{0}^{2}\big(6x^{2}+x\big)\,dx = 6\int_{0}^{2}x^{2}\,dx + \int_{0}^{2}x\,dx.
Expliquei isso porque na prova é comum aplicar essa propriedade para separar termos e simplificar cálculos.

Passo 4

Agora precisamos das primitivas (antiderivadas). Usamos a regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2 e n=1. Logo uma antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3} e de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Assim uma primitiva da função integrando é
F(x)=6\cdot\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}.
Simplificando o primeiro termo:
F(x)=2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(2)-F(0). Calculamos cada termo:
F(2)=2\cdot 2^{3}+\frac{2^{2}}{2}=2\cdot 8+\frac{4}{2}=16+2,
F(0)=2\cdot 0^{3}+\frac{0^{2}}{2}=0.
Portanto a integral vale
F(2)-F(0)=16+2-0.

Resposta

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