Encontre a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a integral indefinida da função fornecida. Mais precisamente: calcular
Informações que o enunciado dá:
- A variável de integração é
. - O integrando é a soma de duas parcelas:
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) geral, ou seja, incluir a constante de integração no final.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica e muito útil das integrais: linearidade. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais, e que constantes podem ser colocadas fora da integral. Em fórmulas:
e
onde
é constante. Vou aplicar isso ao nosso integrando, separando em duas integrais:
Passo 3
Calcular a primeira integral
.
- Primeiro, aplicando a propriedade da constante, tiramos o
para fora:
- Agora precisamos lembrar a primitiva de
. A função exponencial é especial: sua derivada é ela mesma, ou seja, . Por isso a primitiva de também é . Logo,
- Portanto
Passo 4
Calcular a segunda integral
.
- Aqui é útil lembrar a derivada da função tangente. Sabemos que
- Isso significa que a primitiva de
é , pois derivando obtemos exatamente . Portanto
Passo 5
Somar os resultados das duas integrais (pela linearidade):
a primeira deu e a segunda deu
. Assim, uma primitiva da soma é a soma das primitivas (lembrando de acrescentar a constante de integração no final). Para conferir que está correto, podemos derivar a soma
e verificar:
a primeira deu
que é exatamente o integrando original. Perfeito — encontramos uma antiderivada válida.