Encontre a integral indefinida.
\int\left(3 e^{u}+\operatorname{sec} ^{2} u\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a integral indefinida da função fornecida. Mais precisamente: calcular
\int\left(3 e^{u}+\operatorname{sec}^{2} u\right)\,du.
Informações que o enunciado dá:
  1. A variável de integração é u.
  2. O integrando é a soma de duas parcelas: 3 e^{u} e \operatorname{sec}^{2}u.
  3. Queremos uma primitiva (antiderivada) geral, ou seja, incluir a constante de integração no final.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica e muito útil das integrais: linearidade. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais, e que constantes podem ser colocadas fora da integral. Em fórmulas:
\int \big(f(u)+g(u)\big)\,du = \int f(u)\,du + \int g(u)\,du
e
\int c\cdot f(u)\,du = c\cdot\int f(u)\,du,
onde c é constante. Vou aplicar isso ao nosso integrando, separando em duas integrais:
\int\left(3 e^{u}+\operatorname{sec}^{2} u\right)\,du = \int 3 e^{u}\,du + \int \operatorname{sec}^{2}u\,du.

Passo 3

Calcular a primeira integral \int 3 e^{u}\,du.
  • Primeiro, aplicando a propriedade da constante, tiramos o 3 para fora:
\int 3 e^{u}\,du = 3\int e^{u}\,du.
  • Agora precisamos lembrar a primitiva de e^{u}. A função exponencial e^{u} é especial: sua derivada é ela mesma, ou seja, \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}. Por isso a primitiva de e^{u} também é e^{u}. Logo,
\int e^{u}\,du = e^{u}.
  • Portanto
\int 3 e^{u}\,du = 3 e^{u}.

Passo 4

Calcular a segunda integral \int \operatorname{sec}^{2}u\,du.
  • Aqui é útil lembrar a derivada da função tangente. Sabemos que
\frac{d}{du}\tan u = \operatorname{sec}^{2}u.
  • Isso significa que a primitiva de \operatorname{sec}^{2}u é \tan u, pois derivando \tan u obtemos exatamente \operatorname{sec}^{2}u. Portanto
\int \operatorname{sec}^{2}u\,du = \tan u.

Passo 5

Somar os resultados das duas integrais (pela linearidade):
a primeira deu 3 e^{u} e a segunda deu \tan u. Assim, uma primitiva da soma é a soma das primitivas (lembrando de acrescentar a constante de integração no final). Para conferir que está correto, podemos derivar a soma 3 e^{u}+\tan u e verificar:
\frac{d}{du}\big(3 e^{u}+\tan u\big)=3\frac{d}{du}e^{u}+\frac{d}{du}\tan u=3e^{u}+\operatorname{sec}^{2}u,
que é exatamente o integrando original. Perfeito — encontramos uma antiderivada válida.

Resposta

3 e^{u}+\tan u + C

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