Encontre a integral indefinida.
\int\left(x^{3}+6 x+1\right) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida da função dada. Informações fornecidas pelo enunciado:
\int\left(x^{3}+6 x+1\right)\,dx
Ou seja, a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) em relação à variável \,x da função x^{3}+6x+1. Não há outras condições (como valor inicial), portanto a solução terá uma constante de integração.

Passo 2

Uma coisa importante para começar: integrais obedecem à linearidade. Vou escrever isso de forma clara — é a ferramenta que nos permite integrar termo a termo. As fórmulas são:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
\int c\cdot f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx
Aqui c é uma constante (número), f(x) e g(x) são funções. Isso significa que posso separar a integral original em uma soma de integrais mais simples.

Passo 3

Outra ferramenta chave é a regra de potência para integrais. Ela diz que, para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Explicando: a fórmula vem da observação de que, se eu derivar \frac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra de potência para derivadas, obtenho exatamente x^{n}. Então \frac{x^{n+1}}{n+1} é uma antiderivada de x^{n}.

Passo 4

Agora aplico a linearidade do Passo 2 para separar a integral original:
\int\left(x^{3}+6 x+1\right)\,dx=\int x^{3}\,dx+\int 6x\,dx+\int 1\,dx.
Cada uma dessas três integrais é simples e podemos usar a regra de potência do Passo 3.

Passo 5

Calculo cada termo passo a passo:
  1. Para \int x^{3}\,dx uso a regra de potência com n=3:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}=\frac{x^{4}}{4}.
  1. Para \int 6x\,dx fatoro a constante 6:
\int 6x\,dx=6\int x\,dx.
Agora \int x\,dx é a regra de potência com n=1:
\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pela constante 6:
6\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2}.
  1. Para \int 1\,dx posso ver 1 como x^{0} e usar a regra de potência com n=0, ou lembrar que a integral de uma constante a é ax. Assim:
\int 1\,dx = x.

Passo 6

Somando os resultados dos três termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada total:
\int\left(x^{3}+6 x+1\right)\,dx=\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}+x+C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}+x+C\right)=x^{3}+6x+1,
que é exatamente o integrando. Então está tudo certo — boa! Você conseguiu a antiderivada e pode confiar no procedimento.

Resposta

\dfrac{x^{4}}{4}+3x^{2}+x+C

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