Encontre a integral indefinida.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida da função dada. Informações fornecidas pelo enunciado:
Ou seja, a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) em relação à variável
da função
. Não há outras condições (como valor inicial), portanto a solução terá uma constante de integração.
Passo 2
Uma coisa importante para começar: integrais obedecem à linearidade. Vou escrever isso de forma clara — é a ferramenta que nos permite integrar termo a termo. As fórmulas são:
Aqui
é uma constante (número),
e
são funções. Isso significa que posso separar a integral original em uma soma de integrais mais simples.
Passo 3
Outra ferramenta chave é a regra de potência para integrais. Ela diz que, para qualquer número real
,
onde
é a constante de integração. Explicando: a fórmula vem da observação de que, se eu derivar
usando a regra de potência para derivadas, obtenho exatamente
. Então
é uma antiderivada de
.
Passo 4
Agora aplico a linearidade do Passo 2 para separar a integral original:
Cada uma dessas três integrais é simples e podemos usar a regra de potência do Passo 3.
Passo 5
Calculo cada termo passo a passo:
- Para
uso a regra de potência com :
- Para
fatoro a constante :
Agora
é a regra de potência com
:
Multiplicando pela constante
:
- Para
posso ver como e usar a regra de potência com , ou lembrar que a integral de uma constante é . Assim:
Passo 6
Somando os resultados dos três termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a antiderivada total:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): derivando o resultado obtemos
que é exatamente o integrando. Então está tudo certo — boa! Você conseguiu a antiderivada e pode confiar no procedimento.