Calcule cada integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
.
- O intervalo de integração é de
até
.
- Não há singularidade no intervalo (o ponto
não pertence a
), logo a integral é bem definida.
Passo 2
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) da função integranda. Relembrando duas regras básicas de integração que usaremos:
- Regra do fator constante:
, onde
é constante.
- Regra da potência: para
,
. Aqui
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração.
Aplicando essas regras termo a termo:
- Para o primeiro termo,
. Usando a regra da potência com
:
Passo 3
Somando as primitivas dos dois termos obtemos uma primitiva geral da integranda:
Para a integral definida, usamos qualquer primitiva
e aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 4
Usamos
para avaliar a integral no intervalo
:
Passo 5
Calcule
:
Passo 6
Calcule
:
Escrevendo
como
temos
Passo 7
Agora subtraímos:
Isso faz sentido qualitativo: na região considerada a função integranda é negativa, então a integral dá um valor negativo.