Calcule cada integral.
\int_{-2}^{-1}\left(4 y^{3}+\frac{2}{y^{3}}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{-1}\left(4 y^{3}+\frac{2}{y^{3}}\right)\,dy.
Informações dadas:
\; - A função integranda é 4y^{3}+\dfrac{2}{y^{3}}.
\; - O intervalo de integração é de y=-2 até y=-1.
\; - Não há singularidade no intervalo (o ponto y=0 não pertence a [-2,-1]), logo a integral é bem definida.

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) da função integranda. Relembrando duas regras básicas de integração que usaremos:
\; - Regra do fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(y)\,dy = a\int f(y)\,dy, onde a é constante.
\; - Regra da potência: para \; n\neq -1, \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}+C. Aqui y é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração.
Aplicando essas regras termo a termo:
\; - Para o primeiro termo, \displaystyle \int 4y^{3}\,dy = 4\int y^{3}\,dy. Usando a regra da potência com n=3:
4\int y^{3}\,dy = 4\cdot\frac{y^{4}}{4} = y^{4}.
\; - Para o segundo termo, escrevemos \dfrac{2}{y^{3}} = 2y^{-3}. Então
\displaystyle \int 2y^{-3}\,dy = 2\int y^{-3}\,dy. Usando a regra da potência com n=-3:
2\int y^{-3}\,dy = 2\cdot\frac{y^{-2}}{-2} = -y^{-2} = -\frac{1}{y^{2}}.

Passo 3

Somando as primitivas dos dois termos obtemos uma primitiva geral da integranda:
F(y)=y^{4}-\frac{1}{y^{2}}+C.
Para a integral definida, usamos qualquer primitiva F e aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 4

Usamos F para avaliar a integral no intervalo [-2,-1]:
\int_{-2}^{-1}\left(4 y^{3}+\frac{2}{y^{3}}\right)\,dy = F(-1)-F(-2).

Passo 5

Calcule F(-1):
F(-1)=(-1)^{4}-\frac{1}{(-1)^{2}}=1-\frac{1}{1}=1-1=0.

Passo 6

Calcule F(-2):
F(-2)=(-2)^{4}-\frac{1}{(-2)^{2}}=16-\frac{1}{4}.
Escrevendo 16 como \dfrac{64}{4} temos
16-\frac{1}{4}=\frac{64}{4}-\frac{1}{4}=\frac{63}{4}.

Passo 7

Agora subtraímos:
F(-1)-F(-2)=0-\frac{63}{4}=-\frac{63}{4}.
Isso faz sentido qualitativo: na região considerada a função integranda é negativa, então a integral dá um valor negativo.

Resposta

-\dfrac{63}{4}

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