Calcule, em cada item abaixo, as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=ln (x^2+8 y-3 z^2)
i) fx x(x, y)
ii) fz x(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y,z) = lnl(x^2 + 8y - 3z^2r)
especificamente fxx (segunda derivada em relação a x) e fzx (derivada mista, primeiro em x depois em z). Para isso vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Antes de tudo, calculamos as derivadas de primeira ordem:
fx = partialpartial xlnl(Dr) = 1D,partial Dpartial x = 2xx^2 + 8y - 3z^2
fz = partialpartial zlnl(Dr) = 1D,partial Dpartial z = -6zx^2 + 8y - 3z^2
onde para simplificar chamamos D = x^2 + 8y - 3z^2.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada em x, ou seja, fxx = partialx(fx). Usando a regra do quociente em
fx = 2xD,
temos
fxx = 2,(D) - 2x,(Dx)D^2 = 2l(x^2+8y-3z^2r) - 2xcdot(2x)l(x^2+8y-3z^2r)^2 = -2x^2 + 16y - 6z^2l(x^2+8y-3z^2r)^2

Passo 4

Por fim, a derivada mista fzx = partialz(fx). Partimos de
fx = 2xD
com x tratado como constante em relação a z. Aplicando a regra da cadeia:
fzx = 2x ,partialpartial zl(D^-1r) = 2x ,(-1),D^-2,(Dz) = 2x,(-1),D^-2,(-6z) = 12,x,zl(x^2+8y-3z^2r)^2

Resposta

fxx(x,y,z) = -2x^2 + 16y - 6z^2l(x^2+8y-3z^2r)^2,
fzx(x,y,z) = 12,x,zl(x^2+8y-3z^2r)^2

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