Exercício 3. Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^2 x(12 x^2-6 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = e^2xl(12x^2 - 6xr)
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos: ( 1) achar a solução geral da homogênea, ( 2) obter duas soluções fundamentais e o Wronskiano, ( 3) aplicar variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular e ( 4) montar a solução geral.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0
que tem raiz dupla r=2. Logo a solução geral homogênea é
yh = l(C1 + C2,xr)e^2x

Passo 3

Escolhemos as duas soluções fundamentais
y1 = e^2x, y2 = x,e^2x
e calculamos o Wronskiano
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = y1,y2' - y1',y2
Como y1' = 2e^2x e y2' = e^2x + 2x e^2x, obtemos
W = e^2xl(e^2x+2x e^2xr) - 2e^2x,(x e^2x) = e^4x
]

Passo 4

No método da variação dos parâmetros definimos
u1' = -y2,g(x)W, u2' = y1,g(x)W,
onde g(x)=e^2x(12x^2-6x). Assim
u1' = -x e^2x,e^2x(12x^2-6x)e^4x = -xl(12x^2-6xr) = -12x^3+6x^2,
u2' = e^2x,e^2x(12x^2-6x)e^4x = 12x^2 - 6x
Integramos para achar u1 e u2:
u1 = integrall(-12x^3+6x^2r),dx = -3x^4 + 2x^3,
u2 = integrall(12x^2-6xr),dx = 4x^3 - 3x^2

Passo 5

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-3x^4+2x^3r)e^2x + l(4x^3-3x^2r),(x e^2x) = l(x^4 - x^3r)e^2x
Portanto a solução geral da EDO é
y = yh + yp = l(C1 + C2,xr)e^2x + l(x^4 - x^3r)e^2x

Resposta

y(x) = e^2xl(C1 + C2,x + x^4 - x^3r)

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