Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo:
(a)
lim (x, y) (0,0) y sin 1x
(c) lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2
(b) lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites em R^2 à medida que (x,y)to(0,0), usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Em cada caso vamos encontrar uma desigualdade que mostra que a função fica “espremida” entre duas que convergem ao mesmo valor.

Passo 2

Para
lim(x,y)to(0,0)y,sin1x,
note que para todo xneq0 vale
-,|y|<= y,sin1x<=|y|
Como lim(x,y)to(0,0)-|y|=0 e lim(x,y)to(0,0)|y|=0, pelo Teorema do Confronto temos
lim(x,y)to(0,0)y,sin1x=0

Passo 3

Para
lim(x,y)to(0,0)x^2,sin^2yx^2+2y^2,
usamos |sin y|<=|y|, de modo que
0<=x^2,sin^2yx^2+2y^2 <=x^2,y^2x^2+2y^2 =y^2,x^2x^2+2y^2 <= y^2
Como lim(x,y)to(0,0)y^2=0, pelo confronto segue
lim(x,y)to(0,0)x^2,sin^2yx^2+2y^2=0

Passo 4

Para
lim(x,y)to(0,0)x,yraizx^2+y^2,
observe que raizx^2+y^2 é a distância ao ponto (0,0). Logo |x|<=raizx^2+y^2 e |y|<=raizx^2+y^2, de onde
gl|x,yraizx^2+y^2gr| <=|x|,|y|raizx^2+y^2 <=raizx^2+y^2;raizx^2+y^2raizx^2+y^2 =raizx^2+y^2
Como lim(x,y)to(0,0)raizx^2+y^2=0, pelo confronto segue
lim(x,y)to(0,0)x,yraizx^2+y^2=0

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) 0

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