Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x, y, z, w)=w+yz+e^x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z,w)=w+yz+e^x
e pede todas as derivadas parciais. Vamos usar regras de derivação de soma, potência e a regra da cadeia (para e^x e para (z+e^x)^-1).

Passo 2

Para facilitar, escrevemos
f(x,y,z,w)=w + y,(z+e^x)^-1
Assim, ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes e aplicamos:
  • ddxe^x=e^x,
  • dduu^-1=-u^-2,
  • derivada de soma é soma das derivadas.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x: a parte w some (derivada zero) e y é constante, logo
partial fpartial x = ycdot ddxl(z+e^xr)^-1 = ycdotl(-1r)(z+e^x)^-2cdot e^x = -y,e^x(z+e^x)^2

Passo 4

Derivada parcial em relação a y: w é constante (derivada zero) e z+e^x é constante, então
partial fpartial y =1z+e^x

Passo 5

Derivada parcial em relação a z: w some, y é constante e aplicamos regra da cadeia igual ao caso de x, mas ddz(z+e^x)=1. Assim,
partial fpartial z = ycdot(-1)(z+e^x)^-2cdot1 = -y(z+e^x)^2

Passo 6

Derivada parcial em relação a w: o único termo que depende de w é w em si, cuja derivada é 1. Portanto,
partial fpartial w =1

Resposta

partial fpartial x = -y,e^x(z+e^x)^2,
partial fpartial y = 1z+e^x,
partial fpartial z = -y(z+e^x)^2,
partial fpartial w = 1

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