Com uma chapa retangular de alumínio de 144 m^2, deseja-se construir uma caixa retangular com tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.
  • Resposta : Cubo com aresta igual a 2 raiz6 m; volume =48 raiz6 m^3

Passo 1

O enunciado pede a caixa retangular com tampa de maior volume que se pode construir a partir de uma chapa de alumínio de área total 144:m^2. O conteúdo envolvido é otimização de função sujeita a uma restrição de área superficial.

Passo 2

Vamos chamar de x, y e z as arestas da base e a altura da caixa, respectivamente. O volume que queremos maximizar é
V = x,y,z

Passo 3

A área usada da chapa cobre a base, a tampa e as quatro faces laterais. Logo a restrição de área é
2(xy + xz + yz) = 144
ou seja
xy + xz + yz = 72

Passo 4

Para maximizar V com a restrição xy + xz + yz = 72, usamos o argumento da desigualdade AM–GM:
xy + xz + yz3 >= l(xycdot xzcdot yzr)^1/3 = (x^2y^2z^2)^1/3 = (xyz)^2/3
Isso implica
xyz <= gl(xy + xz + yz3gr)^3/2 = gl(723gr)^3/2 =24^3/2
A igualdade ocorre quando xy = xz = yz, ou seja, quando x=y=z.

Passo 5

Impondo x=y=z na restrição xy + xz + yz = 72 temos
3x^2 = 72 Longrightarrow x^2 = 24 Longrightarrow x = 2raiz6

Passo 6

Nesse caso, a aresta de cada lado da caixa é 2raiz6:m e o volume máximo é
Vmax = x^3 = l(2raiz6r)^3 = 8 cdot 6raiz6 = 48raiz6:m^3

Resposta

A caixa de maior volume é um cubo de aresta 2raiz6:m e esse volume vale 48raiz6:m^3.

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