Com uma chapa retangular de alumínio de
, deseja-se construir uma caixa retangular com tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.
- Resposta : Cubo com aresta igual a
; volume
Passo 1
O enunciado pede a caixa retangular com tampa de maior volume que se pode construir a partir de uma chapa de alumínio de área total
. O conteúdo envolvido é otimização de função sujeita a uma restrição de área superficial.
Passo 2
Vamos chamar de
,
e
as arestas da base e a altura da caixa, respectivamente. O volume que queremos maximizar é
Passo 3
A área usada da chapa cobre a base, a tampa e as quatro faces laterais. Logo a restrição de área é
ou seja
Passo 4
Para maximizar
com a restrição
, usamos o argumento da desigualdade AM–GM:
Isso implica
A igualdade ocorre quando
, ou seja, quando
.
Passo 5
Impondo
na restrição
temos
Passo 6
Nesse caso, a aresta de cada lado da caixa é
e o volume máximo é
Resposta
A caixa de maior volume é um cubo de aresta
e esse volume vale
.