Determine o limite, se existif, ou mostre que o limite năo existe.
lim (x, y, t) (x, x, y) e^y tg(x z)

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y,z)to(x,x,y)e^y,tan(xz),
isto é, é um limite de função de três variáveis definido por
f(x,y,z)=e^y,tan(xz)
quando (x,y,z) se aproxima do ponto (x,x,y).
O conteúdo usado é a continuidade de e^y e de tan(u) em pontos onde esta última está definida (ou seja, uneqpi2+kpi) e a regra de substituição para limites de funções contínuas.

Passo 2

Identifiquemos o valor do argumento da tangente no ponto de interesse. Quando
(x,y,z)to(x,x,y),
temos
yto x e zto y,
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xz;longrightarrow;xcdot y

Passo 3

Se x yneqpi2+kpi para todo kinZ, então tan(u) é contínua em u=x y. Como e^y é contínua em y=x, a composição é contínua e podemos substituir diretamente:
lim(x,y,z)to(x,x,y)e^y,tan(xz) =e^;lim y,tanl(lim(xz)r) =e^,x,tanl(xyr)

Passo 4

Se, ao contrário, x y=pi2+kpi para algum kinZ, então tan(u) tem descontinuidade (assimptota vertical) em u = xy. Nesses casos, tan(xz) fica arbitrariamente grande (ou não tem valor definido) quando xz se aproxima de xy, e portanto o limite não existe (tende a pminfty ou oscila sem limite).

Resposta

  • Se x,yneqpi2+kpi, então
lim(x,y,z)to(x,x,y)e^y,tan(xz) =e^,x,tanl(xyr)
  • Se x,y=pi2+kpi para algum kinZ, o limite não existe.

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