Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x, y, z)=(x, y+1x, z+1y+1x)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
f(x,y,z)=l(f1(x,y,z),,f2(x,y,z),,f3(x,y,z)r) =l(x,;y+tfrac1x,;z+tfrac1y+tfrac1xr)
e pede todas as derivadas parciais partial fipartial x, partial fipartial y, partial fipartial z. Vamos usar as regras básicas: derivada de x é 1, de 1/x é -1/x^2, e a regra da cadeia para o terceiro componente.

Passo 2

Para o primeiro componente f1(x,y,z)=x:
partial f1partial x=1, partial f1partial y=0, partial f1partial z=0

Passo 3

Para o segundo componente f2(x,y,z)=y+tfrac1x:
partial f2partial x =ddxl(tfrac1xr)=-tfrac1x^2, partial f2partial y=1, partial f2partial z=0

Passo 4

Para o terceiro componente f3(x,y,z)=z+tfrac1,y+tfrac1x,, deixe
u(x,y)=y+tfrac1x,
assim f3=z+u^-1. Aplicando a regra da cadeia:
partial f3partial x =ddxl(u^-1r) =-u'u^2 =--1/x^2l(y+tfrac1xr)^2 =1,x^2,l(y+tfrac1xr)^2,
partial f3partial y =-1l(y+tfrac1xr)^2, partial f3partial z=1

Resposta

&partial f1partial x=1, partial f1partial y=0, partial f1partial z=0, &partial f2partial x=-1x^2, partial f2partial y=1, partial f2partial z=0, &partial f3partial x =1,x^2,l(y+tfrac1xr)^2, partial f3partial y =-1l(y+tfrac1xr)^2, partial f3partial z=1

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