Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x, y)=-x log x-y log y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = -,xlog x ;-; ylog y,
que está definida para x>0 e y>0. Para isso, vamos usar a regra do produto e a derivada de log.

Passo 2

Calcular partial fpartial x: como y é tratado como constante, só o termo -xlog x importa. Aplicando a regra do produto em xlog x:
ddxl(xlog xr) = 1cdotlog x + xcdot1x = log x + 1
Logo,
partial fpartial x = -l(log x + 1r) = -log x ;-; 1

Passo 3

Calcular partial fpartial y: aqui x é constante, então só o termo -ylog y varia. De forma análoga ao caso anterior,
ddyl(ylog yr) = log y + 1,
e portanto
partial fpartial y = -l(log y + 1r) = -log y ;-; 1

Resposta

partial fpartial x(x,y) = -log x - 1, partial fpartial y(x,y) = -log y - 1

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