Seja f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2. Então :
(a) Calcule f(0,0), f(2,0) e f(0,3).
(b) Determine e esboce o domínio de f.
(c) Determine a imagem de f.
(d) Esboce as curvas de nível para z=0, z=1, z=2 e z=6.
(e) Esboce o gráfico de f.
(f) Calcule lim (x, y) (1,2) f(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2
e pede (a) valores pontuais, (b) domínio, (c) imagem, (d) curvas de nível para certos z, (e) esboço do gráfico e (f) limite em (1,2). Vamos usar avaliação direta, análise de desigualdade para o domínio, propriedades de raiz quadrada para a imagem e níveis, e continuidade para o limite.

Passo 2

Para calcular f(0,0), f(2,0) e f(0,3) basta substituir na fórmula:
f(0,0)=raiz36-9cdot0^2-4cdot0^2=raiz36=6,
f(2,0)=raiz36-9cdot2^2-4cdot0^2=raiz36-36=raiz0=0,
f(0,3)=raiz36-9cdot0^2-4cdot3^2=raiz36-36=raiz0=0

Passo 3

O domínio é o conjunto de (x,y) em que o radicando é não negativo:
36-9x^2-4y^2>=0
isso equivale a
9x^2+4y^2<=36
ou, dividindo por 36,
x^24+y^29<=1
Portanto o domínio é o interior e a fronteira da elipse centrada na origem, com semi-eixos a=2 (direção x) e b=3 (direção y).

Passo 4

Como f é uma raiz quadrada, temos f(x,y)>=0. O valor máximo ocorre quando x=y=0, dando f(0,0)=6, e o mínimo sobre o domínio ocorre na fronteira da elipse, onde o radicando chega a zero. Logo a imagem é
[,0,6,]

Passo 5

As curvas de nível para um valor fixo z são definidas por
raiz36-9x^2-4y^2=z Long<=ftrightarrow 9x^2+4y^2=36-z^2
Para
z=0: 9x^2+4y^2=36 é a fronteira do domínio.
z=1: 9x^2+4y^2=35 é uma elipse um pouco menor.
z=2: 9x^2+4y^2=32 é uma elipse ainda menor.
z=6: 9x^2+4y^2=0 só admite (x,y)=(0,0).
No plano xy são elipses concêntricas que encolhem até um ponto.

Passo 6

O gráfico de f no espaço (x,y,z) é a metade superior do elipsoide
x^24+y^29+z^236=1,
pois z=raiz36-9x^2-4y^2 dá a “tampa” acima do plano z=0.

Passo 7

Como f é contínua no interior do domínio,
lim(x,y)to(1,2)f(x,y)=f(1,2) =raiz36-9cdot1^2-4cdot2^2 =raiz36-9-16 =raiz11

Resposta

(a) f(0,0)=6, f(2,0)=0, f(0,3)=0.
(b) (x,y)mid9x^2+4y^2<=36, ou tfracx^24+tfracy^29<=1.
(c) [0,6].
(d) Curvas de nível dadas por
9x^2+4y^2=36-z^2
para z=0,1,2 (elipses decrescentes) e para z=6 apenas o ponto (0,0).
(e) Metade superior do elipsoide tfracx^24+tfracy^29+tfracz^236=1.
(f) lim(x,y)to(1,2)f(x,y)=raiz11

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