Seja
. Então :
(a) Calcule
e
.
(b) Determine e esboce o domínio de
.
(c) Determine a imagem de
.
(d) Esboce as curvas de nível para
.
(e) Esboce o gráfico de
.
(f) Calcule
.
(a) Calcule
(b) Determine e esboce o domínio de
(c) Determine a imagem de
(d) Esboce as curvas de nível para
(e) Esboce o gráfico de
(f) Calcule
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (a) valores pontuais, (b) domínio, (c) imagem, (d) curvas de nível para certos
, (e) esboço do gráfico e (f) limite em
. Vamos usar avaliação direta, análise de desigualdade para o domínio, propriedades de raiz quadrada para a imagem e níveis, e continuidade para o limite.
Passo 2
Para calcular
,
e
basta substituir na fórmula:
Passo 3
O domínio é o conjunto de
em que o radicando é não negativo:
isso equivale a
ou, dividindo por 36,
Portanto o domínio é o interior e a fronteira da elipse centrada na origem, com semi-eixos
(direção
) e
(direção
).
Passo 4
Como
é uma raiz quadrada, temos
. O valor máximo ocorre quando
, dando
, e o mínimo sobre o domínio ocorre na fronteira da elipse, onde o radicando chega a zero. Logo a imagem é
Passo 5
As curvas de nível para um valor fixo
são definidas por
Para
:
é a fronteira do domínio.
:
é uma elipse um pouco menor.
:
é uma elipse ainda menor.
:
só admite
.
No plano são elipses concêntricas que encolhem até um ponto.
No plano
Passo 6
O gráfico de
no espaço
é a metade superior do elipsoide
pois
dá a “tampa” acima do plano
.
Passo 7
Como
é contínua no interior do domínio,
Resposta
(a)
.
(b) , ou
.
(c) .
(d) Curvas de nível dadas por
(b)
(c)
(d) Curvas de nível dadas por
para
(elipses decrescentes) e para
apenas o ponto
.
(e) Metade superior do elipsoide .
(f)
(e) Metade superior do elipsoide
(f)