Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x)=|x|, x in R^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
fcolon R^3 to R, f(x)=|x|,
onde |x|=raizx1^2+x2^2+x3^2. O conteúdo envolvido é diferenciação de funções compostas em várias variáveis, usando a regra da cadeia, e em seguida verificar o comportamento em x=0 pela definição de derivada parcial.

Passo 2

Para xneq 0 reescrevemos
f(x)=l(x1^2+x2^2+x3^2r)^1/2
Definimos
u(x)=x1^2+x2^2+x3^2, g(t)=t^1/2,
de modo que f=gcirc u. Calculamos
g'(t)=12raizt, nabla u(x)=(2x1,2x2,2x3)

Passo 3

Pela regra da cadeia em várias variáveis,
nabla f(x) = g'l(u(x)r),nabla u(x) = 12raizu(x),(2x1,2x2,2x3) = 1|x|,(x1,x2,x3)
Portanto, para todo xneq 0,
partial fpartial xi(x) = xi|x|, i=1,2,3

Passo 4

Em x=0, usamos a definição
partial fpartial xi(0) =limhto0f(0+hei)-f(0)h =limhto0|h,ei|h =limhto0|h|h,
cujo limite lateral direito é +1 e o esquerdo é -1, logo não existe.

Resposta

Para xneq 0:
partial fpartial xi(x)=xi|x|, i=1,2,3
Em x=0: as derivadas parciais não existem.

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