Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x, y)=lang<= x, yrang<=, x, y in R^3.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função
fcolon R^3timesR^3toR
definida por
f(x,y)=lang<= x,yrang<=,
que é o produto interno padrão. O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas parciais de uma função multivariável, usando a definição de que, para derivar em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.

Passo 2

Escrevemos
x=(x1,x2,x3), y=(y1,y2,y3),
de modo que
f(x,y)=x1y1+x2y2+x3y3

Passo 3

Para partial fpartial xi, mantemos y fixo. Somente o termo xiyi depende de xi, e yi é constante, logo
partial fpartial xi(x,y)=yi, i=1,2,3

Passo 4

Para partial fpartial yj, mantemos x fixo. Somente o termo xjyj depende de yj, e xj é constante, logo
partial fpartial yj(x,y)=xj, j=1,2,3

Resposta

partial fpartial xi(x,y)=yi para i=1,2,3,
partial fpartial yj(x,y)=xj para j=1,2,3.

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