Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x, y)=(x y)^2-3 x+cos (x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y) = (x y)^2 - 3x + cos(xy)
O conteúdo principal envolve aplicar a regra do produto e a regra da cadeia em funções de duas variáveis. Vamos encontrar fx (derivada parcial em relação a x) e fy (derivada parcial em relação a y).

Passo 2

Cálculo de fx:
  1. Para (x y)^2 usamos a regra da cadeia: seja u = x y, então partialpartial x(u^2) = 2ucdot partial upartial x = 2(xy)cdot y = 2x y^2.
  2. Para -3x temos partialpartial x(-3x) = -3.
  3. Para cos(xy) aplicamos partialpartial xcos(u) = -sin(u)cdot partial upartial x com u=xy, logo -sin(xy)cdot y = -ysin(xy).
    Somando tudo,
fx(x,y) = 2x y^2 ;-; 3 ;-; ysin(xy)

Passo 3

Cálculo de fy:
  1. Para (x y)^2 de novo seja u=xy, então partialpartial y(u^2) = 2ucdot partial upartial y = 2(xy)cdot x = 2x^2y.
  2. Para -3x a derivada em relação a y é zero, pois não depende de y.
  3. Para cos(xy) temos partialpartial ycos(xy) = -sin(xy)cdot partial (xy)partial y = -sin(xy)cdot x = -xsin(xy).
    Somando,
fy(x,y) = 2x^2y ;-; xsin(xy)

Resposta

fx(x,y) = 2x y^2 - 3 - ysin(xy),
fy(x,y) = 2x^2y - xsin(xy)

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