Considere f(x, y)=3 x+5 yraizx^2+y^2-4. Então:
(a) Determine e esboce o domínio de f(x, y).
(b) Calcule lim (x, y) (2,1) f(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=3x+5yraizx^2+y^2-4
e pede duas coisas:
  1. Determinar e esboçar o domínio de f.
  2. Calcular lim(x,y)to(2,1)f(x,y).
    Para isso, precisamos garantir que o denominador seja real e não nulo, isto é, que o radicando satisfaça x^2+y^2-4>0, e em seguida usar continuidade para o limite.

Passo 2

Definimos o domínio impondo
x^2+y^2-4>0
ou seja
x^2+y^2>4
Portanto o domínio de f é o conjunto
(x,y)mid x^2+y^2>4,
que corresponde à região externa ao círculo de raio 2 centrado na origem (sem a fronteira).

Passo 3

Para calcular o limite em (2,1), observamos que (2,1) pertence ao domínio, logo f é contínua ali. Basta substituir:
3cdot2+5cdot1=6+5=11
e
raiz2^2+1^2-4=raiz4+1-4=raiz1=1
Logo
lim(x,y)to(2,1)f(x,y)=111=11

Resposta

(a) O domínio é (x,y)mid x^2+y^2>4, ou seja, a região externa ao círculo de raio 2 sem a fronteira.
(b) lim(x,y)to(2,1)f(x,y)=11.

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