Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x, y)=lang<= x, yrang<=|x| cdot|y|, x, y in R^3.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
fcolon R^3timesR^3toR dada por
f(x,y)=lang<= x,yrang<=|x|;|y|,
isto é, queremos partial f/partial xi e partial f/partial yi para i=1,2,3.
Para isso vamos usar a regra do quociente e a derivada do comprimento |x|.

Passo 2

Definimos o numerador
N(x,y)=lang<= x,yrang<==sumi=1^3 xi,yi
e o denominador
D(x,y)=|x|;|y|
Como nablaxN=y e
nablaxD=|y|;nablax|x|=|y|;x|x|,
aplicamos a regra do quociente em x:
nablax f =D,nablaxN - N,nablaxDD^2 =|x||y|,y ;-;lang<= x,yrang<=,l(|y|tfracx|x|r) (|x||y|)^2

Passo 3

No quociente anterior podemos simplificar um fator |y| e recolocar termos para obter
nablax f =|x|,y - tfraclang<= x,yrang<=|x|,x |x|^2;|y| =|x|^2,y ;-;lang<= x,yrang<=,x |x|^3;|y|
Daí, cada componente é
partial fpartial xi =|x|^2,yi ;-;lang<= x,yrang<=,xi |x|^3;|y|, i=1,2,3

Passo 4

De modo totalmente análogo, trocando o papel de x por y, definimos
nablayN=x e
nablayD=|x|,(y/|y|). Aplicando a regra do quociente em y resulta em
nablay f =|y|^2,x ;-;lang<= x,yrang<=,y |x|;|y|^3

Passo 5

Cada componente dessa expressão dá
partial fpartial yi =|y|^2,xi ;-;lang<= x,yrang<=,yi |x|;|y|^3, i=1,2,3

Resposta

Para i=1,2,3 vale
partial fpartial xi =|x|^2,yi - lang<= x,yrang<=,xi |x|^3,|y|, partial fpartial yi =|y|^2,xi - lang<= x,yrang<=,yi |x|,|y|^3

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