Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x, y)=raizx y1-x^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=raizx,y1-x^2
em relação a x e a y. Vamos usar regra da cadeia e produto ao reescrever
f(x,y)=(x,y)^1/2,(1-x^2)^-1/2>

Passo 2

Reescrevendo em potências facilita a diferenciação:
f(x,y)=x^1/2,y^1/2,(1-x^2)^-1/2>

Passo 3

Para partial fpartial x usamos produto de três fatores e a regra da cadeia:
  1. Derivada de x^1/2 é tfrac12,x^-1/2.
  2. y^1/2 é constante em x.
  3. Derivada de (1-x^2)^-1/2 é -tfrac12(1-x^2)^-3/2cdot(-2x)=x,(1-x^2)^-3/2.
Somando as contribuições, obtemos após simplificar
partial fpartial x =raizy,(1+x^2)2,raizx,(1-x^2)^3/2>

Passo 4

Para partial fpartial y tratamos x e (1-x^2) como constantes e aplicamos regra da cadeia a
raiztfracx,y1-x^2:
partial fpartial y =12l(x,y1-x^2r)^-1/2cdotx1-x^2 =raizx2,raizy,(1-x^2)^1/2>

Resposta

partial fpartial x(x,y) =raizy,(1+x^2)2,raizx,(1-x^2)^3/2, partial fpartial y(x,y) =raizx2,raizy,(1-x^2)^1/2

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