Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
f(x)=e^-|x|lang<=(1,2,-3), xrang<=, x in R^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de
f(x)=e^-|x|lang<=(1,2,-3),xrang<=,
onde |x|=raizx1^2+x2^2+x3^2 e lang<=(1,2,-3),xrang<==x1+2x2-3x3.
Conteúdo: vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar e^-|x|.

Passo 2

Definimos
N(x)=e^-|x|, D(x)=lang<=(1,2,-3),xrang<==x1+2x2-3x3
Então f(x)=N(x)D(x).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para partial N/partial xi. Como N=e^-r com r=|x|, temos
partial Npartial xi =e^-rcdotd(-r)d xi =-e^-r,partial rpartial xi =-e^-r,xir

Passo 4

Usamos regra do quociente:
partial fpartial xi =partial Npartial xi;D - N;partial Dpartial xiD^2
Como partial D/partial xi=ai (sendo a=(1,2,-3)), substituímos:

Passo 5

partial fpartial xi =l(-e^-r,xirr),D - e^-r,aiD^2 =-,e^-rD^2l(xir,D + air)

Passo 6

Agora colocamos r=|x|, D=x1+2x2-3x3 e (a1,a2,a3)=(1,2,-3).

Passo 7

As derivadas parciais finais são:
partial fpartial x1 =-e^-|x|l(x1+2x2-3x3r)^2 l(x1|x|l(x1+2x2-3x3r)+1r),
partial fpartial x2 =-e^-|x|l(x1+2x2-3x3r)^2 l(x2|x|l(x1+2x2-3x3r)+2r),
partial fpartial x3 =-e^-|x|l(x1+2x2-3x3r)^2 l(x3|x|l(x1+2x2-3x3r)-3r)

Resposta

partial fpartial x1 =-e^-|x|(x1+2x2-3x3)^2 l(x1|x|(x1+2x2-3x3)+1r),
partial fpartial x2 =-e^-|x|(x1+2x2-3x3)^2 l(x2|x|(x1+2x2-3x3)+2r),
partial fpartial x3 =-e^-|x|(x1+2x2-3x3)^2 l(x3|x|(x1+2x2-3x3)-3r)

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