Considere
.
(a) Determine e esboce o domínio de
.
(b) Determine a imagem de
.
(c) Esboce as curvas de nível para
e
.
(d) Calcule
.
(e) Calcule
.
(a) Determine e esboce o domínio de
(b) Determine a imagem de
(c) Esboce as curvas de nível para
(d) Calcule
(e) Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
(a) o domínio em e seu esboço;
(b) a imagem de ;
(c) as curvas de nível para ;
(d) o valor de ;
(e) o limite de quando
.
Para isso vamos usar as condições de existência da raiz, propriedades de intervalo de valores de uma raiz quadrada e definição de curva de nível.
(a) o domínio em
(b) a imagem de
(c) as curvas de nível para
(d) o valor de
(e) o limite de
Para isso vamos usar as condições de existência da raiz, propriedades de intervalo de valores de uma raiz quadrada e definição de curva de nível.
Passo 2
Para que
esteja bem definida, o radicando não pode ser negativo, ou seja
Rearranjando, isso dá
Esse é o critério que define o domínio de
.
Passo 3
A desigualdade
é justamente o disco fechado de centro na origem e raio
. Para esboçar, você desenha um círculo de raio
centrado em
e pinta todo o interior, incluindo a borda.
Passo 4
Sabendo que dentro do domínio temos
, ao tirar raiz quadrada obtemos
Logo a imagem de
é o intervalo fechado
Passo 5
A curva de nível para um valor
é dada por
- Para
: , círculo de raio . - Para
: , círculo de raio . - Para
: , círculo de raio . - Para
: , é só o ponto .
Assim, as curvas são círculos concêntricos de raiose .
Passo 6
Basta substituir
dentro da raiz:
Passo 7
Como
é contínua no interior do domínio, o limite quando
é simplesmente
Resposta
(a)
, um disco fechado de raio
.
(b) .
(c) curvas de nível são círculos , isto é, raios
.
(d) .
(e) .
(b)
(c) curvas de nível são círculos
(d)
(e)