Considere f(x, y)=raiz9-x^2-y^2.
(a) Determine e esboce o domínio de f(x, y).
(b) Determine a imagem de f.
(c) Esboce as curvas de nível para z=0, z=1, z=2 e z=3.
(d) Calcule f(1,2).
(e) Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=raiz9 - x^2 - y^2
e pede:
(a) o domínio em R^2 e seu esboço;
(b) a imagem de f;
(c) as curvas de nível para z=0,1,2,3;
(d) o valor de f(1,2);
(e) o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0).
Para isso vamos usar as condições de existência da raiz, propriedades de intervalo de valores de uma raiz quadrada e definição de curva de nível.

Passo 2

Para que f(x,y) esteja bem definida, o radicando não pode ser negativo, ou seja
9 - x^2 - y^2 >= 0
Rearranjando, isso dá
x^2 + y^2 <= 9
Esse é o critério que define o domínio de f.

Passo 3

A desigualdade
x^2 + y^2 <= 9
é justamente o disco fechado de centro na origem e raio 3. Para esboçar, você desenha um círculo de raio 3 centrado em (0,0) e pinta todo o interior, incluindo a borda.

Passo 4

Sabendo que dentro do domínio temos 0 <= 9 - x^2 - y^2 <= 9, ao tirar raiz quadrada obtemos
0 <= f(x,y) <= 3
Logo a imagem de f é o intervalo fechado
[,0,3,]

Passo 5

A curva de nível para um valor z é dada por
raiz9 - x^2 - y^2 = z Longrightarrow x^2 + y^2 = 9 - z^2
  • Para z=0: x^2+y^2=9, círculo de raio 3.
  • Para z=1: x^2+y^2=9-1=8, círculo de raio raiz8=2raiz2.
  • Para z=2: x^2+y^2=9-4=5, círculo de raio raiz5.
  • Para z=3: x^2+y^2=9-9=0, é só o ponto (0,0).
    Assim, as curvas são círculos concêntricos de raios 3,2raiz2,raiz5 e 0.

Passo 6

Basta substituir (x,y)=(1,2) dentro da raiz:
f(1,2)=raiz9 - 1^2 - 2^2 =raiz9 - 1 - 4 =raiz4 =2

Passo 7

Como f é contínua no interior do domínio, o limite quando (x,y)to(0,0) é simplesmente
f(0,0)=raiz9 - 0 - 0=3

Resposta

(a) (x,y)inR^2mid x^2+y^2<= 9, um disco fechado de raio 3.
(b) [0,3].
(c) curvas de nível são círculos x^2+y^2=9,,8,,5,,0, isto é, raios 3,2raiz2,raiz5,0.
(d) f(1,2)=2.
(e) lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=3.

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