Calcule cada um dos limites abaixo, caso exista(m) e justifique caso não exista(m).
( 3,5 pontos)
.
( 3,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule
e que se justifique caso o limite não exista. As informações dadas são apenas a expressão acima e a constante
(a base dos logaritmos naturais). Vou, primeiro, identificar onde a expressão está definida e que tipo de limite faz sentido.
Passo 2
Determinar o domínio da função dentro do limite.
- O numerador
exige . - O denominador
exige , ou seja .
Conjugando as duas condições obtemos(a interseção com elimina a parte ). Logo a expressão só está definida para . Portanto só faz sentido aproximar de pela direita; trata-se, na prática, de um limite unilateral à direita .
Passo 3
Verificar a indeterminação ao tentar substituir
.
Substituindo temos numerador
e denominador
. Então a forma é
, indeterminada — precisamos manipular algebricamente.
Substituindo
Passo 4
Racionalizar o numerador para eliminar a indeterminação. Usar a identidade
Essa identidade vem de
com
e
. Substituindo isso na expressão original obtemos
Passo 5
Escrever
como produto e simplificar. Observa-se
Substituindo isso na expressão do Passo 4 temos
Para
podemos escrever
e cancelar um fator
no numerador com um no denominador. Fazendo isso:
A cancelamento é legítimo porque, no domínio considerado,
é bem definido e não confere sinais ambíguos.
Passo 6
Tomar o limite da expressão simplificada. Agora considere o comportamento quando
:
- O numerador
. - O fator
. - O fator
.
Portanto o denominador tende ao número positivo
Como o numerador tende a
e o denominador tende a uma constante não nula, o quociente tende a
. Logo
Passo 7
Comentário final sobre existência: a expressão não está definida para
, então não há limite à esquerda. Assim, se o enunciado exigir o limite bilateral estrito
considerando aproximações por ambos os lados, pode-se dizer que o limite à esquerda não existe; porém, no sentido usual de limite ao longo do domínio da função (ou como limite unilateral à direita), o limite existe e vale
. Normalmente, quando a função só existe para
, a notação
é entendida como o limite pela direita e então o resultado é
.