Calcule cada um dos limites abaixo, caso exista(m) e justifique caso não exista(m).
( 3,5 pontos) \lim _{x \rightarrow e} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\sqrt{x^{2}-e^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule
\lim_{x\to e}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\sqrt{x^{2}-e^{2}}}
e que se justifique caso o limite não exista. As informações dadas são apenas a expressão acima e a constante \,e>0 (a base dos logaritmos naturais). Vou, primeiro, identificar onde a expressão está definida e que tipo de limite faz sentido.

Passo 2

Determinar o domínio da função dentro do limite.
  • O numerador \sqrt{x}-\sqrt{e} exige \,x\ge 0.
  • O denominador \sqrt{x^{2}-e^{2}} exige x^{2}-e^{2}\ge 0, ou seja |x|\ge e.
    Conjugando as duas condições obtemos x\ge e (a interseção com x\ge0 elimina a parte x\le -e). Logo a expressão só está definida para x\ge e. Portanto só faz sentido aproximar x de e pela direita; trata-se, na prática, de um limite unilateral à direita \lim_{x\to e^+}.

Passo 3

Verificar a indeterminação ao tentar substituir x=e.
Substituindo x=e temos numerador \sqrt{e}-\sqrt{e}=0 e denominador \sqrt{e^{2}-e^{2}}=0. Então a forma é 0/0, indeterminada — precisamos manipular algebricamente.

Passo 4

Racionalizar o numerador para eliminar a indeterminação. Usar a identidade
\sqrt{x}-\sqrt{e}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{e})(\sqrt{x}+\sqrt{e})}{\sqrt{x}+\sqrt{e}}=\frac{x-e}{\sqrt{x}+\sqrt{e}}.
Essa identidade vem de a-b=(a^2-b^2)/(a+b) com a=\sqrt{x} e b=\sqrt{e}. Substituindo isso na expressão original obtemos
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\sqrt{x^{2}-e^{2}}} = \frac{\dfrac{x-e}{\sqrt{x}+\sqrt{e}}}{\sqrt{x^{2}-e^{2}}} = \frac{x-e}{(\sqrt{x}+\sqrt{e})\sqrt{x^{2}-e^{2}}}.

Passo 5

Escrever x^{2}-e^{2} como produto e simplificar. Observa-se
x^{2}-e^{2}=(x-e)(x+e), \qquad \sqrt{x^{2}-e^{2}}=\sqrt{(x-e)(x+e)}.
Substituindo isso na expressão do Passo 4 temos
\frac{x-e}{(\sqrt{x}+\sqrt{e})\sqrt{(x-e)(x+e)}}.
Para x\ge e podemos escrever x-e=(\sqrt{x-e})^{2} e cancelar um fator \sqrt{x-e} no numerador com um no denominador. Fazendo isso:
\frac{x-e}{(\sqrt{x}+\sqrt{e})\sqrt{(x-e)(x+e)}} = \frac{\big(\sqrt{x-e}\big)^{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{e})\sqrt{x-e}\,\sqrt{x+e}} = \frac{\sqrt{x-e}}{(\sqrt{x}+\sqrt{e})\sqrt{x+e}}.
A cancelamento é legítimo porque, no domínio considerado, \sqrt{x-e} é bem definido e não confere sinais ambíguos.

Passo 6

Tomar o limite da expressão simplificada. Agora considere o comportamento quando x\to e^+:
  • O numerador \sqrt{x-e}\to 0.
  • O fator \sqrt{x}+\sqrt{e}\to \sqrt{e}+\sqrt{e}=2\sqrt{e}.
  • O fator \sqrt{x+e}\to \sqrt{e+e}=\sqrt{2e}.
    Portanto o denominador tende ao número positivo
(2\sqrt{e})\sqrt{2e}=2\sqrt{2}\,e\neq 0.
Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a uma constante não nula, o quociente tende a 0. Logo
\lim_{x\to e^+}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\sqrt{x^{2}-e^{2}}}=0.

Passo 7

Comentário final sobre existência: a expressão não está definida para x<e, então não há limite à esquerda. Assim, se o enunciado exigir o limite bilateral estrito \lim_{x\to e} considerando aproximações por ambos os lados, pode-se dizer que o limite à esquerda não existe; porém, no sentido usual de limite ao longo do domínio da função (ou como limite unilateral à direita), o limite existe e vale 0. Normalmente, quando a função só existe para x\ge e, a notação \lim_{x\to e} é entendida como o limite pela direita e então o resultado é 0.

Resposta

0

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