(3,5 pontos) Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita para
aparecendo em e em . - A função não está definida em
porque não faz sentido em (divisão por zero). - Sabemos, como fato trigonométrico básico, que para todo
vale .
As perguntas claras que vamos responder:
- Existem assíntotas verticais (valores finitos de
onde )? Em particular, é uma assíntota vertical? - Existem assíntotas horizontais (valores
tal que )? Se sim, quais são?
Passo 2
Vou lembrar o que é cada tipo de assíntota (para ficar didático):
- Assíntota vertical em
: existe se pelo menos uma das limites laterais ou for ou . Ou seja, a função “explode” quando se aproxima de . - Assíntota horizontal
: existe se ou . Geralmente testamos os dois limites em .
Essas definições dizem como proceder: testar comportamento da função perto de
para verticais e testar limites quando
para horizontais.
Passo 3
Análise de possíveis assíntotas verticais. Primeiro observar o domínio:
está definida para todo
. Logo a única candidata a assíntota vertical é
.
Para estudar
usamos uma ideia simples:
é limitada por
e
. Assim, para todo
vale
Isto é porque
e
tem magnitude no máximo
.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Aperto (squeeze theorem): como
e
, pela desigualdade do Passo 3 segue que
Portanto a função não tende a
quando
; o limite existe e é
. Conclusão imediata: não há assíntota vertical em
. Como não existem outros pontos excluídos do domínio, não há assíntotas verticais em nenhum
.
Observação intuitiva:
oscila muito ao se aproximar de
(porque
oscila), mas essas oscilações ficam multiplicadas por um fator
que vai para zero, por isso o produto vai para zero.
Passo 5
Agora estudar assíntotas horizontais: calcular
e
.
Fazemos a substituição conveniente
. Então:
- Quando
temos . - Quando
temos .
Além disso
porque
.
Passo 6
Conhecimento fundamental que vamos usar: o limite notório
Breve justificativa didática (versão clássica): para
pequeno e positivo, por geometria do círculo unitário consegue-se a desigualdade
e como
, pelo Teorema do Aperto segue que
. O mesmo resultado vale ao aproximar
por
vindo de negativos, pois
é ímpar e o quociente tende a
em ambos os lados.
Passo 7
Aplicando esse resultado à expressão do Passo 5:
- Para
: temos e, portanto,
- Para
: temos e
Logo ambos os limites laterais no infinito são iguais a
.
Passo 8
Interpretação final: como
e
, a reta
é assíntota horizontal (para ambos os extremos). E como mostrado antes não existe nenhum
tal que
ao aproximar
, portanto não há assíntotas verticais.
Força aí — a parte mais chata é lembrar do limite
; o resto é aplicação direta de desigualdades e substituição.
Resposta
Assíntota horizontal:
.
Assíntotas verticais: nenhuma.