(3,5 pontos) Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=x \cdot \operatorname{sen}(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=x\cdot\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita para x aparecendo em x e em \operatorname{sen}(1/x).
  • A função não está definida em x=0 porque \operatorname{sen}(1/x) não faz sentido em x=0 (divisão por zero).
  • Sabemos, como fato trigonométrico básico, que para todo t vale |\operatorname{sen}(t)|\le 1.
As perguntas claras que vamos responder:
  1. Existem assíntotas verticais (valores finitos de x onde f(x)\to\pm\infty)? Em particular, x=0 é uma assíntota vertical?
  2. Existem assíntotas horizontais (valores y=L tal que \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L)? Se sim, quais são?

Passo 2

Vou lembrar o que é cada tipo de assíntota (para ficar didático):
  • Assíntota vertical em x=a: existe se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) for +\infty ou -\infty. Ou seja, a função “explode” quando se aproxima de a.
  • Assíntota horizontal y=L: existe se \lim_{x\to\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. Geralmente testamos os dois limites em \pm\infty.
Essas definições dizem como proceder: testar comportamento da função perto de x=0 para verticais e testar limites quando x\to\pm\infty para horizontais.

Passo 3

Análise de possíveis assíntotas verticais. Primeiro observar o domínio: f está definida para todo x\neq 0. Logo a única candidata a assíntota vertical é x=0.
Para estudar \lim_{x\to 0} x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) usamos uma ideia simples: \operatorname{sen} é limitada por -1 e 1. Assim, para todo x\neq 0 vale
-\,|x|\le x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\le |x|.
Isto é porque |\operatorname{sen}(1/x)|\le 1 e x\operatorname{sen}(1/x) tem magnitude no máximo |x|.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Aperto (squeeze theorem): como \lim_{x\to 0} -|x| = 0 e \lim_{x\to 0} |x| = 0, pela desigualdade do Passo 3 segue que
\lim_{x\to 0} x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Portanto a função não tende a \pm\infty quando x\to 0; o limite existe e é 0. Conclusão imediata: não há assíntota vertical em x=0. Como não existem outros pontos excluídos do domínio, não há assíntotas verticais em nenhum x.
Observação intuitiva: x\operatorname{sen}(1/x) oscila muito ao se aproximar de 0 (porque \operatorname{sen}(1/x) oscila), mas essas oscilações ficam multiplicadas por um fator x que vai para zero, por isso o produto vai para zero.

Passo 5

Agora estudar assíntotas horizontais: calcular \lim_{x\to\infty} x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) e \lim_{x\to -\infty} x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Fazemos a substituição conveniente \;t=\dfrac{1}{x}. Então:
  • Quando x\to\infty temos t\to 0^+.
  • Quando x\to -\infty temos t\to 0^-.
    Além disso
x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\operatorname{sen}(t)}{t},
porque x=1/t.

Passo 6

Conhecimento fundamental que vamos usar: o limite notório
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Breve justificativa didática (versão clássica): para t pequeno e positivo, por geometria do círculo unitário consegue-se a desigualdade
\cos t \le \frac{\operatorname{sen} t}{t} \le 1,
e como \lim_{t\to 0}\cos t =1, pelo Teorema do Aperto segue que \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1. O mesmo resultado vale ao aproximar t por 0 vindo de negativos, pois \operatorname{sen} é ímpar e o quociente tende a 1 em ambos os lados.

Passo 7

Aplicando esse resultado à expressão do Passo 5:
  • Para x\to\infty: temos t\to 0^+ e, portanto,
\lim_{x\to\infty} x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
  • Para x\to -\infty: temos t\to 0^- e
\lim_{x\to -\infty} x\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=\lim_{t\to 0^-}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Logo ambos os limites laterais no infinito são iguais a 1.

Passo 8

Interpretação final: como \lim_{x\to\infty}f(x)=1 e \lim_{x\to -\infty}f(x)=1, a reta y=1 é assíntota horizontal (para ambos os extremos). E como mostrado antes não existe nenhum a\in\mathbb{R} tal que f(x)\to\pm\infty ao aproximar x\to a, portanto não há assíntotas verticais.
Força aí — a parte mais chata é lembrar do limite \dfrac{\operatorname{sen} t}{t}\to 1; o resto é aplicação direta de desigualdades e substituição.

Resposta

Assíntota horizontal: y=1.
Assíntotas verticais: nenhuma.

Exercícios relacionados