Verifique que as seguintes proposições são equivalentes.
(d) \sim(p \leftrightarrow q) e (\sim p \leftrightarrow \sim q)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as proposições \neg(p \leftrightarrow q) e (\neg p \leftrightarrow \neg q) são equivalentes.
Informações dadas:
  • Duas fórmulas proposicionais foram fornecidas: \neg(p \leftrightarrow q) e (\neg p \leftrightarrow \neg q).
  • “Verificar equivalência” significa checar se, para todo valor de verdade de p e q, as duas fórmulas têm o mesmo valor de verdade.

Passo 2

Vou explicar o que é o conectivo bicondicional \leftrightarrow e como ele pode ser reescrito numa forma que facilita manipular negações.
Definição útil:
p \leftrightarrow q \equiv (p \land q)\lor(\neg p \land \neg q).
Explicação curta: o bicondicional é verdadeiro quando p e q têm o mesmo valor de verdade: ou ambos verdadeiros ( p\land q) ou ambos falsos ( \neg p\land\neg q).

Passo 3

Vamos escrever \neg(p \leftrightarrow q) usando a forma do passo anterior e aplicar negação por De Morgan passo a passo. Primeiro substituo:
\neg(p \leftrightarrow q) \equiv \neg\big((p \land q)\lor(\neg p \land \neg q)\big).
Agora aplico a negação de uma disjunção usando De Morgan: \neg(A\lor B)\equiv \neg A\land\neg B. Assim
\neg(p \leftrightarrow q) \equiv \neg(p\land q)\land \neg(\neg p\land\neg q).
Aplico De Morgan novamente em cada conjunção negada: \neg(p\land q)\equiv \neg p\lor\neg q e \neg(\neg p\land\neg q)\equiv p\lor q. Então
\neg(p \leftrightarrow q) \equiv (\neg p\lor\neg q)\land(p\lor q).
Essa expressão é equivalentes à forma clássica do “ou exclusivo” (XOR). Outra forma equivalente, mais direta, é
\neg(p \leftrightarrow q) \equiv (p\land\neg q)\lor(\neg p\land q).
Ambas as representações são úteis: a última mostra claramente que a negação do bicondicional é verdadeira exatamente quando p e q têm valores diferentes.

Passo 4

Agora calculo (\neg p \leftrightarrow \neg q) usando a fórmula do bicondicional do passo 2, substituindo p por \neg p e q por \neg q:
\neg p \leftrightarrow \neg q \equiv (\neg p \land \neg q)\lor(\neg\neg p \land \neg\neg q).
Simplifico as duplas negações: \neg\neg p\equiv p e \neg\neg q\equiv q. Portanto
\neg p \leftrightarrow \neg q \equiv (\neg p \land \neg q)\lor(p \land q).
Mas note que a direita é exatamente a mesma forma que usamos para p\leftrightarrow q:
p \leftrightarrow q \equiv (p \land q)\lor(\neg p \land \neg q).
Logo obtenho a identidade importante
\neg p \leftrightarrow \neg q \equiv p \leftrightarrow q.
Interpretação: inverter ambos os lados de um bicondicional não altera o valor do bicondicional — se p e q são iguais, então \neg p e \neg q também são iguais.

Passo 5

Combinando os resultados dos passos 3 e 4, vemos que
\neg(p \leftrightarrow q) \equiv \text{(expressão que é verdadeira quando \(p\) e \(q\) diferem)}ãé
e
\neg p \leftrightarrow \neg q \equiv p \leftrightarrow q.
Portanto \neg(p\leftrightarrow q) é a negação de (\neg p\leftrightarrow \neg q), isto é
\neg(p\leftrightarrow q) \equiv \neg\big(\neg p \leftrightarrow \neg q\big).
Isso já indica que \neg(p\leftrightarrow q) e (\neg p\leftrightarrow \neg q) não podem ser logicamente equivalentes, salvo em casos triviais. Para fixar a intuição, basta um contraexemplo simples: tomo p=\text{V} e q=\text{V}. Então
p\leftrightarrow q = \text{V},\qquad \neg(p\leftrightarrow q)=\text{F},
enquanto
\neg p = \text{F},\\ \neg q=\text{F}\quad\Rightarrow\quad \neg p\leftrightarrow \neg q = \text{V}.
Portanto para p=\text{V} e q=\text{V} as duas fórmulas têm valores distintos ( \text{F} versus \text{V}), o que mostra que não são equivalentes em geral.

Passo 6

Opcionalmente, para ser totalmente exaustivo, a tabela-verdade das duas fórmulas (linhas na ordem p,q = TT,TF,FT,FF) dá:
\begin{array}{c c | c | c} p & q & \neg(p\leftrightarrow q) & \neg p\leftrightarrow \neg q\\hline T & T & F & T\\\ T & F & T & F\\\ F & T & T & F\\\ F & F & F & T \end{array}
Da tabela fica claramente visível que as colunas são opostas linha a linha; as fórmulas não coincidem para todas as valuations.

Resposta

As fórmulas \neg(p \leftrightarrow q) e \neg p \leftrightarrow \neg q não são equivalentes.

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