Verifique que as seguintes proposições são equivalentes.
(d)
e
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as proposições
e
são equivalentes.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Duas fórmulas proposicionais foram fornecidas:
e . - “Verificar equivalência” significa checar se, para todo valor de verdade de
e , as duas fórmulas têm o mesmo valor de verdade.
Passo 2
Vou explicar o que é o conectivo bicondicional
e como ele pode ser reescrito numa forma que facilita manipular negações.
Definição útil:
Definição útil:
Explicação curta: o bicondicional é verdadeiro quando
e
têm o mesmo valor de verdade: ou ambos verdadeiros (
) ou ambos falsos (
).
Passo 3
Vamos escrever
usando a forma do passo anterior e aplicar negação por De Morgan passo a passo. Primeiro substituo:
Agora aplico a negação de uma disjunção usando De Morgan:
. Assim
Aplico De Morgan novamente em cada conjunção negada:
e
. Então
Essa expressão é equivalentes à forma clássica do “ou exclusivo” (XOR). Outra forma equivalente, mais direta, é
Ambas as representações são úteis: a última mostra claramente que a negação do bicondicional é verdadeira exatamente quando
e
têm valores diferentes.
Passo 4
Agora calculo
usando a fórmula do bicondicional do passo 2, substituindo
por
e
por
:
Simplifico as duplas negações:
e
. Portanto
Mas note que a direita é exatamente a mesma forma que usamos para
:
Logo obtenho a identidade importante
Interpretação: inverter ambos os lados de um bicondicional não altera o valor do bicondicional — se
e
são iguais, então
e
também são iguais.
Passo 5
Combinando os resultados dos passos 3 e 4, vemos que
e
Portanto
é a negação de
, isto é
Isso já indica que
e
não podem ser logicamente equivalentes, salvo em casos triviais. Para fixar a intuição, basta um contraexemplo simples: tomo
e
. Então
enquanto
Portanto para
e
as duas fórmulas têm valores distintos (
versus
), o que mostra que não são equivalentes em geral.
Passo 6
Opcionalmente, para ser totalmente exaustivo, a tabela-verdade das duas fórmulas (linhas na ordem
=
) dá:
Da tabela fica claramente visível que as colunas são opostas linha a linha; as fórmulas não coincidem para todas as valuations.
Resposta
As fórmulas
e
não são equivalentes.