Uma construtora precisa fazer um duto de ventilação retangular com área de seção transversal de 600 \mathrm{~cm}^{2}. O duto será feito de chapa metálica, onde o material para as paredes laterais custa \mathrm{R} \ 80 por\mathrm{m}^{2} , o material para a base custa\mathrm{R} $120 por\mathrm{m}^{2} (reforçado), e a tampa custaç\mathrm{R} $ 150 por\mathrm{m}^{2}$ (inox). Por limitações do espaço disponível, a largura do duto deve estar entre 15 cm e 25 cm .
(a) Seja x a largura do duto (em cm). Expresse a altura h em função de x, usando a restrição da área.
(b) Escreva a função custo total por metro linear C(x) em função de x.
(c) Determine o domínio da função C(x) considerando as limitações do problema.
(d) Encontre as dimensões que minimizam o custo por metro e calcule o custo mínimo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Informações fornecidas:
  • Área da seção transversal: \,600\\ \text{cm}^2.
  • Largura do duto: x (em cm). Restrição: 15\\ \text{cm} \le x \le 25\\ \text{cm}.
  • Altura do duto: h (em cm) — a ser expressa em função de x.
  • Custos dos materiais (por metro quadrado):
    • Paredes laterais: \mathrm{R}\$\,80/\text{m}^2.
    • Base: \mathrm{R}\$\,120/\text{m}^2.
    • Tampa: \mathrm{R}\$\,150/\text{m}^2.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Expressar h em função de x usando a restrição da área.
    (b) Escrever a função custo total por metro linear C(x).
    (c) Determinar o domínio de C(x) considerando as limitações.
    (d) Encontrar as dimensões que minimizam o custo por metro e calcular o custo mínimo.

Passo 2

(a) Relacionar área com x e h.
A área da seção retangular é produto da largura pela altura. Logo:
x\cdot h = 600.
Isolando h,
h=\frac{600}{x}.
Isto é o que se pede na letra (a): expressão de h em função de x.

Passo 3

(b) Montar a função custo por metro linear C(x). Explicação passo a passo e conversões:
  • Trabalhamos com custo por metro de comprimento do duto. Para comprimento 1\\ \text{m} a área de cada face (em \text{cm}^2) é: face com dimensões a (cm) por 100 (cm) tem área 100a\\ \text{cm}^2.
  • Para converter \text{cm}^2 em \text{m}^2 divide-se por 10000 (pois 1\\ \text{m}^2 = 10000\\ \text{cm}^2).
  • Áreas por metro de comprimento:
    • Cada parede lateral: altura h por 1\\ \text{m} tem área 100h\\ \text{cm}^2 = \dfrac{100h}{10000}\\ \text{m}^2 = \dfrac{h}{100}\\ \text{m}^2.
    • Base: largura x por 1\\ \text{m} tem área \dfrac{x}{100}\\ \text{m}^2.
    • Tampa: mesma área da base \dfrac{x}{100}\\ \text{m}^2.
  • Agora os custos por metro (multiplicando área em \text{m}^2 pelo preço por \text{m}^2):
    • Duas paredes laterais: 2\cdot\left(\dfrac{h}{100}\right)\cdot 80 = \dfrac{160h}{100}.
    • Base: \dfrac{x}{100}\cdot 120 = \dfrac{120x}{100}.
    • Tampa: \dfrac{x}{100}\cdot 150 = \dfrac{150x}{100}.
  • Somando tudo, o custo por metro é
C(x)=\frac{160h}{100}+\frac{120x}{100}+\frac{150x}{100}.
  • Podemos simplificar e substituir h=\dfrac{600}{x}:
C(x)=1{,}6\,h + 2{,}7\,x.
\text{Substituindo }h=\frac{600}{x}\text{,}
C(x)=1{,}6\cdot\frac{600}{x}+2{,}7x=\frac{960}{x}+2{,}7x.
Esse é o modelo de custo por metro linear em reais, com x em cm.

Passo 4

(c) Determinar o domínio de C(x) com base nas limitações físicas e do enunciado.
  • Fisicamente x>0 e h>0.
  • O enunciado impôs que a largura deve estar entre 15\\ \text{cm} e 25\\ \text{cm}. Vou interpretar isso como intervalo fechado (valores permitidos inclusive).
    Portanto o domínio relevante para o problema é
15\le x\le 25.

Passo 5

(d) Minimização de C(x) no intervalo [15,25]. Método: derivada e checagem dos extremos do intervalo (porque é um problema com domínio fechado).
  • Derivada de C(x)=960x^{-1}+2{,}7x:
C'(x)=-\frac{960}{x^{2}}+2{,}7.
  • Zerar a derivada para achar pontos críticos:
-\frac{960}{x^{2}}+2{,}7=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{960}{x^{2}}=2{,}7 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{960}{2{,}7}=\frac{9600}{27}=\frac{3200}{9}.
  • Tomando raiz positiva (largura positiva),
x=\sqrt{\frac{3200}{9}}=\frac{40\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}\approx 18{,}856\\ \text{cm}.
  • Verificação de mínimo (segundo derivada):
C''(x)=\frac{1920}{x^{3}}>0\quad\text{para }x>0,
logo o ponto crítico é mínimo local. Como está dentro do intervalo [15,25], pode ser candidato a mínimo global. Para confirmar com o domínio fechado, avalio C nos extremos e no crítico.
  • Valor em x=\dfrac{40\sqrt{2}}{3}:
    usar relação derivada: da equação crítica temos 2{,}7x=\dfrac{960}{x}. Assim os dois termos da expressão de C são iguais e
C_{\min}= \frac{960}{x}+2{,}7x = 2\cdot (2{,}7x) =5{,}4x.
Substituindo x=\dfrac{40\sqrt{2}}{3}:
C_{\min}=5{,}4\cdot\frac{40\sqrt{2}}{3} =72\sqrt{2}\\ \text{R\$}\approx 101{,}82\\ \text{R\$}.
  • Altura correspondente:
h=\frac{600}{x}=\frac{600}{\tfrac{40\sqrt{2}}{3}}=\frac{45}{\sqrt{2}}=\frac{45\sqrt{2}}{2}\\ \text{cm}\approx 31{,}820\\ \text{cm}.
  • Avaliação nos extremos para garantir mínimo global:
C(15)=\frac{960}{15}+2{,}7\cdot 15=64+40{,}5=104{,}5\\ \text{R\$},
C(25)=\frac{960}{25}+2{,}7\cdot 25=38{,}4+67{,}5=105{,}9\\ \text{R\$}.
Como C_{\min}\approx101{,}82\\ \text{R\$} é menor que C(15) e C(25), o mínimo global no intervalo [15,25] ocorre no x encontrado.

Resposta

(a) h=\dfrac{600}{x}.
(b) C(x)=\dfrac{960}{x}+2{,}7x (em R$ por metro, com x em cm).
(c) Domínio: 15\le x\le 25.
(d) Largura que minimiza o custo: x=\dfrac{40\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}\approx 18{,}856\\ \text{cm}. Altura correspondente: h=\dfrac{45\sqrt{2}}{2}\\ \text{cm}\approx 31{,}820\\ \text{cm}. Custo mínimo por metro: C_{\min}=72\sqrt{2}\\ \text{R\$}\approx 101{,}82\\ \text{R\$}.

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