Uma construtora precisa fazer um duto de ventilação retangular com área de seção transversal de
. O duto será feito de chapa metálica, onde o material para as paredes laterais custa
80
\mathrm{m}^{2}
\mathrm{R} $120
\mathrm{m}^{2}
\mathrm{R} $ 150
\mathrm{m}^{2}$ (inox). Por limitações do espaço disponível, a largura do duto deve estar entre 15 cm e 25 cm .
(a) Seja
a largura do duto (em cm). Expresse a altura
em função de
, usando a restrição da área.
(b) Escreva a função custo total por metro linear
em função de
.
(c) Determine o domínio da função
considerando as limitações do problema.
(d) Encontre as dimensões que minimizam o custo por metro e calcule o custo mínimo.
(a) Seja
(b) Escreva a função custo total por metro linear
(c) Determine o domínio da função
(d) Encontre as dimensões que minimizam o custo por metro e calcule o custo mínimo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Informações fornecidas:
- Área da seção transversal:
. - Largura do duto:
(em cm). Restrição: . - Altura do duto:
(em cm) — a ser expressa em função de . - Custos dos materiais (por metro quadrado):
- Paredes laterais:
. - Base:
. - Tampa:
.
- Paredes laterais:
- O que o enunciado pede:
(a) Expressarem função de usando a restrição da área.
(b) Escrever a função custo total por metro linear.
(c) Determinar o domínio deconsiderando as limitações.
(d) Encontrar as dimensões que minimizam o custo por metro e calcular o custo mínimo.
Passo 2
(a) Relacionar área com
e
.
A área da seção retangular é produto da largura pela altura. Logo:
A área da seção retangular é produto da largura pela altura. Logo:
Isolando
,
Isto é o que se pede na letra (a): expressão de
em função de
.
Passo 3
(b) Montar a função custo por metro linear
. Explicação passo a passo e conversões:
- Trabalhamos com custo por metro de comprimento do duto. Para comprimento
a área de cada face (em ) é: face com dimensões (cm) por (cm) tem área . - Para converter
em divide-se por (pois ). - Áreas por metro de comprimento:
- Cada parede lateral: altura
por tem área . - Base: largura
por tem área . - Tampa: mesma área da base
.
- Cada parede lateral: altura
- Agora os custos por metro (multiplicando área em
pelo preço por ): - Duas paredes laterais:
. - Base:
. - Tampa:
.
- Duas paredes laterais:
- Somando tudo, o custo por metro é
- Podemos simplificar e substituir
:
Esse é o modelo de custo por metro linear em reais, com
em cm.
Passo 4
(c) Determinar o domínio de
com base nas limitações físicas e do enunciado.
- Fisicamente
e . - O enunciado impôs que a largura deve estar entre
e . Vou interpretar isso como intervalo fechado (valores permitidos inclusive).
Portanto o domínio relevante para o problema é
Passo 5
(d) Minimização de
no intervalo
. Método: derivada e checagem dos extremos do intervalo (porque é um problema com domínio fechado).
- Derivada de
:
- Zerar a derivada para achar pontos críticos:
- Tomando raiz positiva (largura positiva),
- Verificação de mínimo (segundo derivada):
logo o ponto crítico é mínimo local. Como está dentro do intervalo
, pode ser candidato a mínimo global. Para confirmar com o domínio fechado, avalio
nos extremos e no crítico.
- Valor em
:
usar relação derivada: da equação crítica temos. Assim os dois termos da expressão de são iguais e
Substituindo
:
- Altura correspondente:
- Avaliação nos extremos para garantir mínimo global:
Como
é menor que
e
, o mínimo global no intervalo
ocorre no
encontrado.
Resposta
(a)
.
(b) (em R$ por metro, com
em cm).
(c) Domínio: .
(d) Largura que minimiza o custo: . Altura correspondente:
. Custo mínimo por metro:
.
(b)
(c) Domínio:
(d) Largura que minimiza o custo: