Calcule cada um dos limites abaixo:
Dica: nos dois últimos itens, use a identidade
\left(x^{n}-y^{n}\right)=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2} y+\cdots+x y^{n-2}+y^{n-1}\right), para todo n \in \mathbb{N}.
\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} x \sin\bigl(\tfrac1x\bigr).
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”), que diz que se uma função f(x) está presa entre duas funções cujo limite é L, então o limite de f(x) também é L.

Passo 2

Sabemos que para todo t\in\mathbb{R} vale
-1 \;\le\;\sin(t)\;\le\;1.
Substituindo t=\tfrac1x, obtemos
-1 \;\le\;\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\;\le\;1.

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por x, que tende a zero, temos (note que o sinal de x pode ser positivo ou negativo, mas faremos a forma absoluta para controlar o valor):
-|x|\;\le\;x\,\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\;\le\;|x|.

Passo 4

Agora, observe que
\lim_{x\to 0} -|x| = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} |x| = 0.
Portanto, pela desigualdade acima e pelo Teorema do Confronto, concluímos que
\lim_{x\to 0} x\,\sin\bigl(\tfrac1x\bigr) = 0.

Resposta

0

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