Calcule cada um dos limites
lim x 0^+ x^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+ x^x.
O conteúdo envolve limites de forma indeterminada do tipo “ 0^0”. Para lidar com isso, vamos usar a identidade
x^x = e^,xln x
e estudar o expoente xln x.

Passo 2

Reescrevendo a expressão, temos
x^x = e^,xln x
Logo,
limxto0^+ x^x = limxto0^+ e^,xln x = e^limxto0^+(xln x),
desde que o limite de xln x exista.

Passo 3

Vamos calcular
limxto0^+ xln x
Note que xln x é do tipo 0cdot(-infty). Reescrevemos como quociente:
xln x = ln x1/x,
onde o numerador tende a -infty e o denominador a +infty. Aplicando a regra de L’Hospital:
limxto0^+ln x1/x = limxto0^+ddx(ln x)ddx(1/x) = limxto0^+tfrac1x-,tfrac1x^2 = limxto0^+(-x) = 0

Passo 4

Como limxto0^+xln x=0, segue
limxto0^+x^x = e^0 = 1

Resposta

1

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