Em um filme de ação, um herói corre ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 5 metros por segundo. Uma câmera cinematográfica está posicionada num ponto fixo a 6 metros desse caminho, e é mantida focalizada no herói. A que taxa a câmera está girando quando o herói está a 8 metros do ponto do caminho mais próximo da câmera?

Passo 1

O enunciado é um problema de taxas relacionadas: um herói corre ao longo de um caminho retilíneo afastando-se de um ponto fixo A, que está a 6 m desse caminho. Chamando x(t) a distância do herói ao ponto mais próximo do caminho a partir de A, temos dxdt=5 m/s. A câmera em A gira formando um ângulo theta(t) de modo que a reta de visada aponta para o herói. Precisamos achar dthetadt quando x=8 m.

Passo 2

Para relacionar x e theta montamos o triângulo retângulo cuja cateto oposto é x e o adjacente é 6. Logo
tan(theta)=x6

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, usando derivada de tan, obtemos
sec^2(theta),dthetadt=16,dxdt

Passo 4

Quando x=8 m, temos
tan(theta)=86=43 Longrightarrow sec^2(theta)=1+tan^2(theta)=1+l(43r)^2=10036

Passo 5

Isolando dthetadt:
dthetadt =tfrac16,tfracdxdtsec^2(theta) =tfrac16cdot5tfrac10036 =5/6100/36 =56cdot36100 =180600 =0,3 rad/s

Resposta

dthetadt=0,3 rad/s quando x=8 m.

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